Exercícios de Quantidade de Movimento com resolução comentada

A quantidade de movimento Q é determinada pelo produto entre a massa do corpo e sua velocidade. Portanto, utiliza-se a relação:

\[Q = m \cdot v\]

A massa informada é de 85 g, mas a unidade deve ser convertida para quilogramas, pois a quantidade de movimento deve ser expressa em kg⋅m/s. Como 1 g = 10⁻³ kg, temos 85 g = 85 × 10⁻³ kg. A velocidade de 0,4 m/s pode ser escrita como 4 × 10⁻¹ m/s. Substituindo esses valores na expressão:

\[Q = 85 \times 10^{- 3} \cdot 4 \times 10^{- 1} = 340 \times 10^{- 4}\]

Multiplicando 85 por 4, obtém-se 340. Em seguida, somam-se os expoentes das potências de 10: −3 + (−1) = −4. Assim, a quantidade de movimento é:

\[Q = 0.034 \text{kg} \cdot m / \text{s} .\]

Logo, a quantidade de movimento produzida em um batimento é aproximadamente 0,034 kg⋅m/s, correspondente à alternativa c).

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]

Os dados fornecidos são a massa da partícula e sua velocidade. A massa é expressa em quilogramas, e a velocidade, em metros por segundo:

\[m = 9.0 \times 10^{- 26} \text{kg}\] \[v = 2.0 \times 10^{2} \text{m} \cdot s^{- 1}\] \[Q = m \times V\]

A quantidade de movimento, também chamada de momento linear, é calculada pelo produto da massa pela velocidade. Nessa expressão, Q representa a quantidade de movimento, m representa a massa e v representa a velocidade. Assim, substituem-se os valores fornecidos no enunciado:

\[Q = 9.0 \times 10^{- 26} \text{kg} \times 2.0 \times 10^{2} \text{m} \cdot s^{- 1}\]

Ao multiplicar números escritos em notação científica, multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes de 10. Portanto, o coeficiente é obtido por 9,0 × 2,0 = 18, e o expoente resulta de −26 + 2 = −24:

\[Q = 18 \times 10^{\left(- 26 + 2\right)} \text{kg} \cdot m \cdot s^{- 1} = 1.8 \times 10^{- 23} \text{kg} \cdot m \cdot s^{- 1}\]

A forma intermediária possui o coeficiente 18. Para escrevê-la corretamente em notação científica, desloca-se a vírgula uma casa para a esquerda, transformando 18 em 1,8. Como consequência, o expoente de 10 aumenta uma unidade, passando de −24 para −23:

\[Q = 1.8 \times \underset{\begin{matrix}Ordem \\ de \\ grandeza \end{matrix}}{\underbrace{10^{- 23}}} kg \cdot m \cdot s^{- 1}\]

Como o coeficiente 1,8 está mais próximo de 1 do que de 10, a potência de dez que representa a ordem de grandeza permanece igual a 10⁻²³. A unidade da quantidade de movimento é kg⋅m⋅s⁻¹, equivalente a kg⋅m/s.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

A quantidade de movimento de uma partícula é determinada pelo produto de sua massa por sua velocidade. Portanto:

\[Q = m \cdot v\]

Substituindo a massa de 9,0 × 10⁻²⁶ kg e a velocidade de 2,0 × 10² m/s, obtém-se:

\[Q = 9 \cdot 10^{- 26} \cdot 2 \cdot 10^{2}\]

Multiplicando os coeficientes, 9 × 2 = 18, e somando os expoentes, −26 + 2 = −24, resulta:

\[Q = 1.8 \cdot 10^{- 23} \text{kg} \cdot m / \text{s}\]

Assim, a quantidade de movimento vale 1,8 × 10⁻²³ kg⋅m/s e tem ordem de grandeza 10⁻²³. Portanto, a alternativa correta é d) 10⁻²³.

O momento angular de uma partícula em relação à origem é determinado pelo produto vetorial entre sua posição e seu momento linear:

\[\overset{\rightarrow}{L} = \overset{\rightarrow}{r} \times \overset{\rightarrow}{p}\]

Como o momento linear de uma partícula é dado pelo produto de sua massa por sua velocidade, cada contribuição pode ser escrita como \(\overset{\rightarrow}{p} = m \overset{\rightarrow}{v}\). Assim, o momento angular total é obtido somando vetorialmente as contribuições das três partículas. Pela configuração geométrica indicada na figura, somente as contribuições associadas às partículas 1 e 2 resultam em componente na direção do eixo x; a contribuição da partícula 3 não acrescenta componente nesse eixo.

Considerando os braços de alavanca e os sentidos dos movimentos mostrados na figura, a contribuição da partícula 1 tem módulo \(3 m_{1} v_{1}\) e sentido negativo, enquanto a contribuição da partícula 2 tem módulo \(2 m_{2} v_{2}\) e sentido positivo. Portanto, o momento angular total na direção do eixo x é:

\[\left(\overset{\rightarrow}{L}\right)_{x} = \left[3 \cdot m_{1} \left(- v_{1}\right) + 2 \cdot m_{2} v_{2}\right] \hat{k}\] \[\left(\overset{\rightarrow}{L}\right)_{x} = \left(2 m_{2} v_{2} – 3 m_{1} v_{1}\right) \hat{k}\]

Na primeira igualdade, o termo negativo \(3 m_{1} \left(- v_{1}\right)\) representa a contribuição da partícula 1 no sentido oposto ao eixo positivo. Na segunda igualdade, realiza-se a distribuição do fator 3 e a reorganização dos termos, resultando em \(2 m_{2} v_{2} – 3 m_{1} v_{1}\). O vetor \(\hat{k}\) indica a direção e o sentido positivo considerados para o eixo correspondente.

Logo, a expressão obtida coincide com a alternativa e): \(\left(2 m_{2} v_{2} – 3 m_{1} v_{1}\right) \hat{k}\).

A quantidade de movimento, também chamada de momento linear, é uma grandeza vetorial definida pelo produto da massa do corpo pela sua velocidade. Como o enunciado solicita apenas o valor da quantidade de movimento, utilizamos o módulo da velocidade:

\[Q = m \cdot v\]

Nessa relação, Q representa a quantidade de movimento, em kg⋅m/s, m representa a massa do meteoro, em quilogramas, e v representa a velocidade, em metros por segundo. A massa já foi fornecida na unidade adequada: m = 10 kg.

Entretanto, a velocidade foi dada em quilômetros por hora. Para convertê-la para metros por segundo, usamos que 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s. Assim, a conversão de km/h para m/s é feita dividindo o valor por 3,6. Substituindo a massa e a velocidade convertida na expressão da quantidade de movimento, obtemos:

\[Q = 10 \cdot \frac{252000}{3.6}\]

Primeiro, a divisão de 252000 km/h por 3,6 fornece a velocidade em m/s. Em seguida, multiplicamos esse resultado pela massa de 10 kg. Portanto:

\[Q = 700000 k g \cdot m / \text{s}\]

Logo, a quantidade de movimento do meteoro é 700000 kg⋅m/s. Portanto, a alternativa correta é a c).

Como o eixo de rotação é perpendicular à barra e passa por sua extremidade esquerda, podemos escolher essa extremidade como a origem da coordenada x. Assim, cada pequeno elemento de massa da barra está a uma distância x do eixo.

O momento de inércia é calculado somando as contribuições de todos os elementos de massa. Para uma barra delgada e uniforme, a densidade linear de massa é constante, representada por ρ, e um elemento de massa pode ser escrito como dm = ρ dx. Portanto, a contribuição de cada elemento é proporcional ao quadrado de sua distância ao eixo:

\[I = \int^{2} dm = \rho \int x^{2} dx\]

A coordenada x varia desde a extremidade que contém o eixo, em x = 0, até a outra extremidade da barra, em x = L. Por isso, a integração deve ser feita nesse intervalo. Integrando o termo x², obtém-se:

\[I = \rho \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L} = \frac{ρL^{3}}{3}\]

Como a barra é uniforme, sua massa total é dada por m = ρL. Substituindo essa relação na expressão anterior, o momento de inércia pode ser escrito em função da massa m e do comprimento L:

\[I = \frac{mL^{2}}{3}\]

O momento de inércia é positivo, pois envolve o produto da massa por distâncias ao quadrado. Além disso, quando o eixo passa pela extremidade, a massa fica, em média, mais afastada do eixo do que quando o eixo passa perpendicularmente pelo centro de massa. Como as contribuições dependem do quadrado da distância, o momento de inércia nesse caso é maior que o momento de inércia em torno do eixo perpendicular que passa pelo centro de massa.

Logo, a alternativa correta é c) positivo e maior do que quando o eixo de rotação a atravessa perpendicularmente passando pelo seu centro de massa.

Como a esfera parte do repouso e a resistência do ar é desprezível, seu movimento é de queda livre. Nesse movimento, a aceleração tem módulo constante e igual a g. Portanto, a velocidade aumenta uniformemente durante o intervalo de tempo T.

A velocidade da esfera ao atingir o solo pode ser obtida pela equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:

\[v = v_{0} + g T\]

Nessa expressão, v é a velocidade final, v₀ é a velocidade inicial, g é o módulo da aceleração da gravidade e T é o tempo de queda.

Como a esfera foi abandonada, ela partiu do repouso. Isso significa que sua velocidade inicial é nula:

\[v_{0} = 0\] \[v = g T\]

Assim, a velocidade final é o produto da aceleração da gravidade pelo tempo de queda. A altura h não aparece diretamente nessa expressão porque, neste caso, o tempo T já representa o intervalo total durante o qual a esfera foi acelerada.

A quantidade de movimento linear, também chamada de momento linear, é definida como o produto da massa pela velocidade. Como a questão pede o módulo dessa grandeza, usamos os módulos da massa e da velocidade:

\(Q = M v\)
\(Q = M g T\)

Logo, o módulo da quantidade de movimento da esfera ao atingir o solo é MgT. Portanto, a alternativa correta é d) MgT.

O momento linear relaciona a massa de um corpo à sua velocidade. Por definição:

\[p = m v\]

Nessa expressão, p representa o momento linear, m representa a massa e v representa a velocidade. Como a velocidade possui dimensão de comprimento por tempo, a dimensão do momento linear é dada pelo produto entre massa e velocidade:

\(\left[p\right] = \left(M L T\right)^{- 1}\) e \(\left[m\right] = M\)

Para determinar a unidade de energia potencial gravitacional, utiliza-se a relação entre energia potencial, massa, aceleração da gravidade e altura. Assim, a energia potencial é proporcional ao produto dessas três grandezas:

Sendo assim:

\[E_{p} = m g h\]

Nessa expressão, g é a aceleração da gravidade e h é uma distância, isto é, uma grandeza com dimensão de comprimento. Ao substituir as dimensões da massa, da aceleração e da altura, obtém-se a dimensão associada à energia potencial:

\[\left[E_{p}\right] = M L T^{2} L = \left(M L\right)^{2} T^{2}\]

Como o momento linear é o produto da massa pela velocidade, ao elevar sua unidade ao quadrado e dividi-la pela unidade de massa, a unidade de massa aparece duas vezes no numerador e uma vez no denominador. Portanto, resta uma unidade de massa, juntamente com as dimensões associadas ao quadrado da velocidade, que correspondem à energia:

\[\left[E_{p}\right] = \frac{\left[p\right]^{2}}{\left[m\right]}\]

Logo, no sistema hipotético em que p é a unidade fundamental de momento linear e m é a unidade fundamental de massa, a unidade de energia potencial é dada por p² dividido por m. Portanto, a alternativa correta é b) p² / m.

A quantidade de movimento, também chamada de momento linear, é uma grandeza vetorial representada por \(Q\). Seu módulo é obtido pelo produto entre a massa do corpo e o módulo de sua velocidade. Portanto, utiliza-se a relação:

\[Q = m \cdot v\]

Nessa expressão, \(m\) representa a massa da aeronave, medida em quilogramas, e \(v\) representa sua velocidade. Para que o resultado seja expresso em \(kg \cdot m / \text{s}\), a velocidade, inicialmente fornecida em quilômetros por hora, deve ser convertida para metros por segundo.

A conversão é feita dividindo a velocidade em \(km / \text{h}\) por \(3.6\), pois \(1 \text{m} / \text{s}\) corresponde a \(3.6 \text{km} / \text{h}\). Substituindo a massa máxima de decolagem e a velocidade média de cruzeiro indicadas no enunciado, temos:

\[Q = 79000 \text{kg} \cdot 720 \frac{km}{h} \cdot \frac{1 \text{m} / \text{s}}{3.6 \text{km} / \text{h}}\]

O fator de conversão cancela as unidades \(km / \text{h}\), deixando a velocidade em \(m / \text{s}\). Assim, o produto da massa pela velocidade resulta em:

\[Q = 1.58 \cdot 10^{7} \text{kg} \cdot m / \text{s} \approx 1.6 \cdot 10^{7} \text{kg} \cdot m / \text{s}\]

O valor calculado é aproximadamente \(1.6 \cdot 10^{7} \text{kg} \cdot m / \text{s}\). Portanto, a alternativa correta é a) 1,6×10⁷.

O momento linear do carro é definido pelo produto entre sua massa e sua velocidade. Assim, sendo p o módulo do momento linear, m a massa e v a velocidade, temos:

\[p = m v\] \[v = \frac{p}{m}\]

A segunda igualdade é obtida isolando a velocidade na primeira expressão: divide-se ambos os lados por m. Portanto, a velocidade pode ser substituída em função do momento linear e da massa.

A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é dada por metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade. Substituindo \(v = \frac{p}{m}\) nessa expressão, resulta:

\[E_{c} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{m}{2} \left(\frac{p}{m}\right)^{2}\] \[E_{c} = \frac{p^{2}}{2 \text{m}}\]

Na simplificação, o fator m que está no numerador cancela uma das duas massas presentes no denominador do termo elevado ao quadrado. Dessa forma, a energia cinética é expressa em função do momento linear e da massa como p² dividido por 2m.

Logo, a alternativa correta é a) \(\frac{p^{2}}{2 \text{m}} .\)

O momento linear, também chamado de quantidade de movimento, mede o estado de movimento de um corpo. Ele depende da massa da partícula e de sua velocidade, sendo calculado pelo produto dessas duas grandezas:

A massa da esfera é 1 kg e sua velocidade é 2 m/s. Portanto, substituindo esses valores na expressão do momento linear:

\[Q = mv = 1 \times 2\] \[\boxed{Q = 2 \text{kg} \cdot m / \text{s} .}\]

A unidade do momento linear é o produto da unidade de massa pela unidade de velocidade, isto é, kg⋅m/s. O intervalo de tempo de 3 s não entra diretamente nesse cálculo, pois o momento linear é determinado apenas pela massa e pela velocidade instantânea informadas.

Assim, o momento linear da esfera é 2 kg⋅m/s. Portanto, a alternativa correta é a a).