Exercícios de Impulso de uma força

A intensidade do impulso recebido é de:

$$\mathrm{I}=\mathrm{\Delta Q}=\mathrm{m\Delta v}$$
$$\mathrm{I}=0,5\cdot {10}^{-3}\cdot 180$$
$$\mathrm{I}=0,09\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$$

Utilizando-se o teorema do impulso e considerando-se o referencial positivo para a velocidade final, tem-se:

$$\mathrm{I}=\mathrm{\Delta Q}={\mathrm{Q}}_{\mathrm{fi}}-\mathrm{Q}=\mathrm{m}({\mathrm{v}}_{\mathrm{fi}}-\mathrm{v})\Rightarrow 3,9\mathrm{Ns}=60 \cancel{\mathrm{g}}\cdot \frac{1\mathrm{kg}}{{10}^3\cancel{\mathrm{g}}}(35\mathrm{m}/\mathrm{s}-{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}})\Rightarrow$$
$${\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}=35\mathrm{m}/\mathrm{s}-\frac{3,9\mathrm{Ns}\cdot {10}^3}{60\mathrm{kg}}=35\mathrm{m}/\mathrm{s}-65\mathrm{m}/\mathrm{s}{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}=-30\mathrm{m}/\mathrm{s}=\left|{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}\right|=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

O impulso recebido pelo avião é dado por:

$$I=\mathrm{\Delta }Q=m\mathrm{\Delta }v$$
$$I=72\cdot {10}^3\cdot (80-0)$$
$$I\cong 5,8\cdot {10}^6\mathrm{N}\cdot \mathrm{S}$$

Referencial: Adota-se a velocidade positiva antes do choque com a parede e negativa no recuo do robô.

Por meio do Teorema do impulso pode-se determinar a força na colisão da lança contra a parede.

$\overrightarrow{\mathrm{I}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}}\right|\Rightarrow \mathrm{F}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}=|\overrightarrow{\mathrm{m}}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}}-\overrightarrow{\mathrm{m}}\cdot {\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}|\Rightarrow \mathrm{F}=\frac{\mathrm{m}\cdot |{\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}-{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}|}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}$

Substituindo-se os valores fornecidos no enunciado em unidades do Sistema Internacional, tem-se o módulo da força no impacto com a parede:

$\mathrm{F}=\frac{\mathrm{m}\cdot |{\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}-{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}|}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}=\frac{18\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot |-3-15|\mathrm{m}/\mathrm{s}}{9\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}}\therefore \mathrm{F}=36\cdot {10}^3\mathrm{N}$

Para obter-se a pressão, basta fazer a razão entre a força e a área da ponta da lança.

$P=\frac{F}{A}=\frac{36\cdot {10}^3\mathrm{N}}{1\cdot {10}^{-6}{\mathrm{m}}^2}\therefore P=3,6\cdot {10}^{10}\mathrm{P}\mathrm{a}$

Impulso sofrido pela moto entre os instantes 0s e 20s:

$\mathrm{I}=\frac{20\cdot 10}{2}=100 \mathrm{N}\cdot \mathrm{s }$

Velocidade V₁:

$$\mathrm{I}={\mathrm{m}\mathrm{V}}_1-{\mathrm{m}\mathrm{V}}_0$$
$$100=160{\mathrm{V}}_1-0$$
$${\mathrm{V}}_1=0,625\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Aceleração da moto entre os instantes 20s e 25s:

$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{V}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}=\frac{0-0,625}{25-20}=-0,125 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2 }}$

Velocidade da moto no instante 23s:

$${\mathrm{v}}_2={\mathrm{v}}_1+\text{at}$$
$${\mathrm{v}}_2=0,625-0,125\cdot 3$$
$${\mathrm{v}}_2=0,25\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Logo, a variação da quantidade de movimento entre os instantes 23s e 25s vale:

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}=\mathrm{m}(0-{\mathrm{V}}_2)$$
$$\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}=160\cdot (-0,25)$$
$$\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}=-40\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}$$

[I] Correta. Se não houve alteração do módulo da velocidade, estando a força no plano do movimento, seu sentido é perpendicular ao sentido do movimento, provocando alteração na direção da velocidade.

[II] Incorreta. A expressão da quantidade de movimento é $\mathrm{Q}=\mathrm{m}\mathrm{v}$. Se houve alteração na velocidade, houve alteração na quantidade de movimento.

[III] Correta. Pelo teorema do impulso: ${\mathrm{I}}_{\mathrm{F}}=\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}$.

[IV] Incorreta. Considerando o plano xOy, com x e y, respectivamente, paralelo e perpendicular à velocidade $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v}}\right),$ a referida força $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{F}}\right)$ age na direção do eixo y, como na figura.

Na direção x o movimento é uniforme e, na direção y, é uniformemente variado. Então:

$\mathrm{Eixo} \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{vt}\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{v}}$ (I)

$\text{Eixo }\mathrm{y}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\mathrm{F}=\mathrm{ma}& \mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}} \left(\mathrm{II}\right)\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{t}}^2& \text{(III) }\end{array}\end{array}\right.$

Combinando as expressões (I), (II) e (III):

$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{F}}{2 \mathrm{m}}{\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{v}}\right)}^2\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\mathrm{F}}{2 \mathrm{mv}}{\mathrm{x}}^2$

Como F , m e v são constantes, a relação entre y e x é quadrática; logo a nova trajetória descrita será um arco de parábola.

[I] Falsa. Ao receber a ação de uma força de módulo variável, o bloco passa a descrever um movimento não uniformemente variado.

[II] Falsa. Impulso sofrido pelo bloco de 0 a 6 s:

$\mathrm{I}=\frac{12\mathrm{N}\cdot 6\mathrm{s}}{2}=36\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$

Logo, a velocidade no instante 6 s possui módulo igual a:

$$\mathrm{I}=\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}=\mathrm{m}(\mathrm{v}-{\mathrm{v}}_0)$$
$$36=4(\mathrm{v}-0)$$
$$\mathrm{v}=9\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

[III] Verdadeira. Pelo teorema da energia cinética, obtemos:

$$\mathrm{\tau }={\mathrm{\Delta E}}_{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{m}}{2}({\mathrm{v}}^2-{\mathrm{v}}_0^2)$$
$$\mathrm{\tau }=\frac{4}{2}(9^2-0^2)$$
$$\mathrm{\tau }=162\mathrm{J}$$

Tempo decorrido do lançamento do objeto até a sua colisão com a parede:

$\mathrm{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{v}}_{0\mathrm{x}}}=\frac{5\mathrm{m}}{10\mathrm{m}/\mathrm{s}}=0,5\mathrm{s}$

Velocidade vertical ado objeto no momento da colisão:

${\mathrm{v}}_{0\mathrm{y}}=\mathrm{g}\mathrm{t}=10\cdot 0,5\Rightarrow {\mathrm{v}}_{0\mathrm{y}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Dos impulsos na vertical e na horizontal, obtemos:

$$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{I}}_{\mathrm{y}}={\mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{y}}\\ {\mathrm{I}}_{\mathrm{x}}={\mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{x}}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{\mu N\Delta t}=\mathrm{m}({\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{v}}_{0\mathrm{y}})\\ \mathrm{N\Delta t}=\mathrm{m}({\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{v}}_{0\mathrm{x}})\end{array}\right.÷\mathrm{\mu }=\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{v}}_{0\mathrm{y}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{v}}_{0\mathrm{x}}}$$
$$\Rightarrow 0,1=\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}+5}{10-(-8)}\Rightarrow 1,8={\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}+5$$
$$\left|{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}\right|=3,2 \mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Distância vertical percorrida pela bomba em queda livre após o lançamento do avião: 

$\mathrm{y }= \frac{\mathrm{g }\cdot {\mathrm{t }}_{\mathrm{0 }}^{\mathrm{2 }}}{\mathrm{2 }}= \frac{\mathrm{10 }\mathrm{m }/ {\mathrm{s }}^{\mathrm{2 }}( \mathrm{2 }\mathrm{s }{) }^{\mathrm{2 }}}{\mathrm{2 }}\therefore \mathrm{y }= \mathrm{20 }\mathrm{m }$

Altura do solo no momento em que a bomba explodiu: 

$\mathrm{h }= \mathrm{80 }\mathrm{m }- \mathrm{20 }\mathrm{m }\therefore \mathrm{h }= \mathrm{60 }\mathrm{m }$

Tempo total de queda da bomba até o solo: 

$\mathrm{h}=\frac{\mathrm{g}\cdot {\mathrm{t}}_1^2}{2}\Rightarrow {\mathrm{t}}_1=\sqrt{\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 80 \mathrm{m}}{10 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}}=\sqrt{16 {\mathrm{s}}^2}\therefore {\mathrm{t}}_1=4 \mathrm{s}$

Tempo de queda após a explosão: 

${\mathrm{t }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{4 }\mathrm{s }- \mathrm{2 }\mathrm{s }\therefore {\mathrm{t }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{2 }\mathrm{s }$

Como o centro de massa da bomba percorre o caminho natural da bomba sem a explosão e a mesma se dividiu em duas partes iguais com velocidade horizontal de 100 m/s em relação ao centro de massa cada uma, considerando cada parte em sentidos opostos, teremos uma parte sendo composta pela velocidade horizontal inicial do avião mais a velocidade de impulsão devido a explosão e a outra metade com o sentido contrário. 

Assim, a composição das velocidades das partes será: 

Velocidade horizontal inicial da bomba: 

${\mathrm{v }}_{\mathrm{0 }}= \mathrm{1800 }\mathrm{k }\mathrm{m }/ \mathrm{h }\cdot \frac{\mathrm{1 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }}{\mathrm{3 }, \mathrm{6 }\mathrm{k }\mathrm{m }/ \mathrm{h }}\therefore {\mathrm{v }}_{\mathrm{0 }}= \mathrm{500 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }$

Velocidade horizontal da parte em mesmo sentido do avião: 

${\mathrm{v }}_{\mathrm{1 }}= \mathrm{500 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }+ \mathrm{100 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }\therefore {\mathrm{v }}_{\mathrm{1 }}= \mathrm{600 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }$

Velocidade horizontal da parte em sentido contrário do avião: 

${\mathrm{v }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{500 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }- \mathrm{100 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }\therefore {\mathrm{v }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{400 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }$

Cada metade fará um deslocamento horizontal de acordo com suas velocidades tendo o tempo restante de queda para realizar esse deslocamento. 

Distância da metade 1 após o ponto da explosão: 

${\mathrm{x }}_{\mathrm{1 }}= {\mathrm{v }}_{\mathrm{1 }}\cdot {\mathrm{t }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{600 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }\cdot \mathrm{2 }\mathrm{s }\therefore {\mathrm{v }}_{\mathrm{1 }}= \mathrm{1200 }\mathrm{m }$

Distância da metade 2 após o ponto da explosão: 

${\mathrm{x }}_{\mathrm{2 }}= {\mathrm{v }}_{\mathrm{2 }}\cdot {\mathrm{t }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{400 }\mathrm{m }/ \mathrm{s }\cdot \mathrm{2 }\mathrm{s }\therefore {\mathrm{x }}_{\mathrm{1 }}= \mathrm{800 }\mathrm{m }$

Distância de separação entre as partes da bomba no solo. 

$\mathrm{\Delta }\mathrm{x }= {\mathrm{x }}_{\mathrm{1 }}- {\mathrm{x }}_{\mathrm{2 }}= \mathrm{1200 }\mathrm{m }- \mathrm{800 }\mathrm{m }\therefore \mathrm{\Delta }\mathrm{x }= \mathrm{400 }\mathrm{m }$

Com as alturas máximas atingidas pela bola antes e depois do repique no chão determinam-se as velocidades máximas antes de tocar o solo e logo depois do contato, usando-se a conservação de energia mecânica. 

Antes do choque com o chão: 

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{pg}\left(\mathrm{antes}\right)}={\mathrm{E}}_{\mathrm{c}\left(\mathrm{antes}\right)}$$
$$\overline{)\mathrm{m}}\cdot \mathrm{g}\cdot {\mathrm{h}}_0=\frac{\overline{)\mathrm{m}}\cdot {{\mathrm{v}}_0}^2}{2}$$
$$10\cdot 0,8=\frac{{{\mathrm{v}}_0}^2}{2}$$
$${\mathrm{v}}_0=\sqrt{16}{\mathrm{v}}_0=4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Após o choque com o chão: 

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{pg}\left(\mathrm{depois}\right)}={\mathrm{E}}_{\mathrm{c}\left(\mathrm{depois}\right)}$$
$$\overline{)\mathrm{m}}\cdot \mathrm{g}\cdot {\mathrm{h}}_1=\frac{\overline{)\mathrm{m}}\cdot {{\mathrm{v}}_1}^2}{2}$$
$$10\cdot 0,45=\frac{{{\mathrm{v}}_1}^2}{2}$$
$${\mathrm{v}}_1=\sqrt{9}{\mathrm{v}}_1=3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Utilizando-se do Teorema do Impulso, tem-se que ele corresponde à variação da quantidade de movimento, assim tem-se uma relação com a força média da bola durante o contato com o solo. 

$$\mathrm{I }= \mathrm{\Delta }\mathrm{Q }$$
$${\mathrm{F }}_{\mathrm{m }}\cdot \mathrm{\Delta }\mathrm{t }= \mathrm{m }( {\mathrm{v }}_{\mathrm{0 }}- {\mathrm{v }}_{\mathrm{1 }})$$

Substituindo-se os valores fornecidos e as velocidades determinadas, juntamente com o tempo de contato da bola com o solo fornecidas no gráfico, finalmente determina-se a força média de contato. 

$$\mathrm{F}{ }_{\mathrm{m} }\cdot 1 \times 10{ }^{- 3 }\mathrm{ }\mathrm{s} = 0 , 1 \mathrm{ }\mathrm{k} \mathrm{g} ( 4 \mathrm{ }\mathrm{m} / \mathrm{s} - ( - 3 \mathrm{ }\mathrm{m} / \mathrm{s} ) )$$
$$\mathrm{F}{ }_{\mathrm{m} }= \frac{0 , 1 \mathrm{ }\mathrm{k} \mathrm{g} ( 7 \mathrm{ }\mathrm{m} / \mathrm{s} ) }{1 \times 10{ }^{- 3 }\mathrm{ }\mathrm{s} }\mathrm{F}{ }_{\mathrm{m} }= 700 \mathrm{ }\mathrm{N}$$