Exercícios de Potência Térmica com resolução comentada

Inicialmente, é necessário identificar as duas etapas pelas quais o conteúdo do recipiente passou: primeiro, o gelo a 0 °C foi completamente fundido; depois, toda a água resultante foi aquecida de 0 °C até 20 °C. O calor útil absorvido pelo sistema será, portanto, a soma do calor de fusão com o calor sensível.

1. Calor necessário para fundir o gelo

Durante a fusão, a temperatura permanece em 0 °C. Por isso, utiliza-se a expressão do calor latente, na qual m é a massa do gelo e L_fusão é o calor latente de fusão da água:

\[Q_{1} = m_{\text{gelo}} \cdot L_{\text{fus}\tilde{a}\text{o}} = 50 \text{g} \cdot 80 cal / \text{g}\] \[Q_{1} = 4000 \text{cal}\]

Assim, são necessárias 4000 cal para transformar os 50 g de gelo em água líquida, sem ainda elevar a temperatura do sistema.

2. Calor necessário para aquecer a água

Após a fusão, a massa total de água é a soma da água que já estava no recipiente com a massa de gelo que derreteu. Portanto, a massa aquecida de 0 °C a 20 °C é de 350 g + 50 g = 400 g. Para esse aquecimento, aplica-se a expressão do calor sensível:

\[Q_{2} = m_{\acute{a}\text{gua}} \cdot C_{\acute{a}\text{gua}} \cdot \Delta T_{\acute{a}\text{gua}} = \left(350 + 50\right) g \cdot 1 \frac{cal}{g \cdot ^{\circ} \text{C}} \cdot \left(20 – 0\right)^{\circ} \text{C}\] \[Q_{2} = 8000 cal\]

A variação de temperatura é de 20 °C, pois a água parte de 0 °C e chega a 20 °C. Logo, o aquecimento da massa total de 400 g requer 8000 cal.

3. Calor útil absorvido pelo conteúdo do recipiente

O calor útil é a soma das parcelas utilizadas na fusão do gelo e no aquecimento da água:

\[Q_{u ́ t i l} = Q_{1} + Q_{2} = \left(4000 + 8000\right) cal .\] \[Q_{\acute{u}\text{til}} = 12000 cal\]

Como a potência será expressa em watts, é necessário converter o calor de calorias para joules. Utilizando a relação fornecida, 1 cal = 4 J:

\[Q_{\acute{u}\text{til}} = 12000 cal \cdot \frac{4 \text{J}}{1 cal}\] \[Q_{\acute{u}\text{til}} = 48000 \text{J}\]

Portanto, o conteúdo do recipiente absorveu efetivamente 48 000 J.

4. Calor total fornecido pela fonte

O enunciado informa que apenas 80% do calor fornecido pela fonte foi absorvido pelo conteúdo do recipiente. Assim, os 48 000 J correspondem a 80% da energia total fornecida. Chamando essa energia total de Q_fonte, temos:

\[\begin{cases} Q_{\acute{u}\text{til}} \hcancel{ } 80 \% \\ Q_{\text{fonte}} \hcancel{ } 100 \% \end{cases}\] \[Q_{\text{fonte}} = \frac{Q_{\acute{u}\text{til}} \cdot 100 \%}{80 \%} = \frac{48000 \text{J} \cdot 100}{80} Q_{\text{fonte}} = 60000 \text{J}\]

Logo, a fonte precisou fornecer 60 000 J para que 48 000 J fossem efetivamente absorvidos pela mistura.

5. Cálculo da potência

A potência média é definida como a razão entre a energia fornecida e o intervalo de tempo. O tempo deve ser convertido de minutos para segundos, pois 1 W equivale a 1 J/s:

\[P_{\text{fonte}} = \frac{Q_{\text{fonte}}}{t} = \frac{60000 \text{J}}{5 \text{min} \cdot \frac{60 \text{s}}{1 \text{min}}}\] \[P_{\text{fonte}} = 200 \text{W}\]

Portanto, a potência da fonte térmica é 200 W, correspondente à alternativa c).

A taxa de transferência de calor corresponde à quantidade de calor trocada por unidade de tempo. Como não ocorre mudança de estado físico, utiliza-se o calor sensível, calculado pela relação entre a massa, o calor específico e a variação de temperatura.

A massa de água é 800 g, o calor específico é 1,0 cal/(g °C) e a redução de temperatura tem módulo igual a 25 °C. Como a pergunta trata da taxa com que a água perde calor, considera-se o valor positivo da quantidade de calor retirada. O intervalo de 40 minutos deve ser convertido para horas, pois as alternativas estão expressas em kcal/h:

\(\left(\overset{\cdot}{Q}\right)\) é a razão entre a variação da quantidade de calor pelo tempo gasto e a quantidade de calor sem haver mudança de fase (calor sensível).

\[\overset{\cdot}{Q} = \frac{m \cdot c \cdot \Delta T}{\Delta t} = \frac{800 \text{g} \cdot 1 cal / \text{g} \circ C \cdot 25 \circ C}{40 \cancel{min} \cdot \frac{1 \text{h}}{60 \cancel{min}}}\] \[\overset{\cdot}{Q} = 30000 cal / \text{h} = 30 kcal / \text{h}\]

Na simplificação das unidades, grama e grau Celsius presentes na massa, no calor específico e na variação de temperatura se cancelam adequadamente, restando calorias por hora. Além disso, 30 000 cal/h equivalem a 30 kcal/h, pois 1 kcal corresponde a 1 000 cal.

Portanto, a água perde calor à taxa de 30 kcal/h, e a alternativa correta é a b) 30 kcal/h.

Para determinar as grandezas solicitadas, relacionamos a quantidade de cana cortada por um trabalhador com os rendimentos informados para cada tonelada. A análise dimensional permite verificar se as unidades se cancelam corretamente e se o resultado final fica expresso nas unidades desejadas.

A quantidade de energia produzida por hora pode ser representada por \(\left(\frac{E}{h}\right)\) e, para um trabalhador, é calculada a partir da produção de 9 toneladas de cana em 12 horas. Como cada tonelada de cana gera aproximadamente 1,7 Gcal, multiplicamos a taxa de corte de cana pelo rendimento energético por tonelada.

\[\frac{E}{h} = \frac{9 \cancel{ton}}{12 \text{h}} \cdot \frac{1.7 Gcal}{1 \cancel{ton}}\]

Na multiplicação, a unidade tonelada aparece no numerador da primeira fração e no denominador da segunda, portanto é cancelada. Restam Gcal por hora. Numericamente, dividimos 9 toneladas por 12 horas, obtendo 0,75 tonelada por hora, e multiplicamos esse valor por 1,7 Gcal por tonelada.

\[\frac{E}{h} = 1.275 \frac{Gcal}{h} \approx 1.3 \frac{Gcal}{h}\]

Assim, a contribuição energética correspondente ao ritmo de trabalho do boia-fria é de aproximadamente 1,3 Gcal por hora, conforme o cálculo apresentado.

Para determinar a massa de açúcar produzida na jornada, usamos a informação de que cada tonelada de cana rende, em média, 150 kg de açúcar. O trabalhador corta 9 toneladas em um dia de trabalho; por isso, multiplicamos essa massa de cana pelo rendimento de açúcar por tonelada.

\[\frac{m}{d} = \frac{9 ton}{d} \cdot \frac{150 \text{kg}}{1 ton}\]

A unidade tonelada é cancelada, permanecendo quilogramas por dia. Efetuando a multiplicação, obtemos a massa de açúcar associada à produção diária de 9 toneladas de cana.

\[\frac{m}{d} = 1350 \frac{kg}{d}\]

Portanto, de acordo com os cálculos apresentados, o trabalhador estava associado a uma produção aproximada de 1,3 Gcal por hora e de 1350 kg de açúcar por dia. Esses valores correspondem à alternativa A.

Para determinar a unidade correta de potência com base na definição fornecida, é fundamental retomar o conceito físico fundamental dessa grandeza. Na termodinâmica e na mecânica, a potência representa a taxa de transferência ou conversão de energia por unidade de tempo. Em outras palavras, ela quantifica quão rapidamente um sistema realiza trabalho ou transfere calor ao longo de um intervalo cronológico específico.

\[\text{Pot} = \frac{Q}{Δt}\]

Nesta relação matemática, o símbolo Pot designa a potência, Q corresponde à quantidade de calor ou energia térmica envolvida no processo e Δt representa a variação temporal necessária para que essa transferência ocorra. A estrutura da equação evidencia uma dependência direta com a energia e uma dependência inversa com o tempo, o que já indica que a unidade resultante deverá combinar um módulo energético com o inverso de um intervalo cronológico.

\[\left[Pot\right] = \frac{\left[Q\right]}{\left[Δt\right]} = \frac{BTU}{h}\]

A igualdade dimensional demonstra que a dimensão da potência é obtida pela razão entre o módulo energético e o módulo temporal. Ao escrevermos BTU no numerador e h no denominador, estamos formalizando que uma unidade de potência equivale à quantidade de calor transferida em cada hora decorrida.

\[\left[\text{Pot}\right] = BTU \cdot h^{- 1}\]

Por convenção científica e para simplificar a notação algébrica, a divisão por uma unidade é frequentemente reescrita como multiplicação pela mesma unidade elevada ao expoente negativo. Assim, h no denominador transforma-se em h⁻¹ no numerador, gerando a expressão BTU⋅h⁻¹. Essa forma compacta é amplamente adotada na engenharia e na física para representar grandezas derivadas.

Conclui-se que o uso isolado do BTU refere-se estritamente à energia térmica, enquanto a incorporação da variável tempo ao denominador, ou seu equivalente exponencial negativo, define corretamente a potência. Portanto, a representação dimensional adequada corresponde exatamente à alternativa A.