Exercícios de Potência elétrica com resolução comentada

A potência elétrica dissipada por um resistor pode ser expressa em função da resistência e da diferença de potencial pela relação obtida a partir da combinação entre a definição de potência elétrica e a Lei de Ohm. Nessa expressão, P representa a potência, medida em watts (W), ΔV representa a diferença de potencial, medida em volts (V), e R representa a resistência elétrica, medida em ohms (Ω).

A expressão utilizada é:

\(P = \frac{ΔV^{2}}{R}\)

Como a grandeza solicitada é a resistência R, é necessário isolá-la. Multiplicando os dois lados da igualdade por R e, em seguida, dividindo por P, obtém-se:

\(R = \frac{ΔV^{2}}{P}\)

Agora, substituem-se os valores fornecidos no enunciado: a diferença de potencial é 10 V e a potência é 5,0 W. Primeiro, eleva-se a tensão ao quadrado, obtendo 100 V². Depois, divide-se esse valor pela potência. A unidade resultante é o ohm, pois a relação entre volt, watt e resistência é compatível com a unidade de resistência elétrica.

\[R = \frac{ΔV^{2}}{P} = \frac{\left(10 \text{V}\right)^{2}}{5 \text{W}} = \frac{100}{5} \Omega\] \[R = 20 \Omega\]

A potência elétrica dissipada pelo fusível pode ser calculada pela relação entre a tensão aplicada e a resistência:

\(P = \frac{V^{2}}{R}\)

Nessa expressão, V é a tensão da fonte, medida em volts, e R é a resistência do fusível, medida em ohms. Substituindo os valores fornecidos, obtém-se:

\(P = \frac{5^{2}}{10} = \frac{25}{10} = 2,5\)

Assim, o fusível recebe energia à taxa de 2,5 J por segundo, pois 1 watt equivale a 1 joule por segundo.

O tempo necessário para receber os 800 J de calor é obtido dividindo a energia pela potência:

\(t = \frac{Q}{P}\)

Com Q = 800 J e P = 2,5 W:

\(t = \frac{800}{2,5} = 320 \text{ s}\)

A potência elétrica instantânea associada ao raio é determinada pelo produto entre a diferença de potencial e a corrente elétrica. Portanto, utilizamos a relação:

\[P = U \cdot I .\]

Nessa expressão, P representa a potência elétrica, medida em watts (W), U representa a diferença de potencial, medida em volts (V), e I representa a corrente elétrica, medida em ampères (A). Como 1 V ⋅ 1 A = 1 W, o produto dessas duas grandezas fornece diretamente a potência em watts.

Para obter o valor máximo da potência no intervalo mostrado, devem ser identificados no gráfico os valores máximos da diferença de potencial e da corrente elétrica. De acordo com os dados apresentados, o valor máximo da diferença de potencial é:

\[U = 6.0 \times 10^{6} \text{V}\]

O valor máximo da corrente elétrica é:

\[I = 2.0 \times 10^{4} \text{A} .\]

Assim, considerando os valores máximos indicados no gráfico, substituímos U e I na expressão da potência. Na multiplicação de números escritos em notação científica, multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes de 10:

\[P = \left(6.0 \times 10^{6}\right) \cdot \left(2.0 \times 10^{4}\right) = 12 \times 10^{10} = 1.2 \times 10^{11} \text{W}\]

O resultado intermediário é 12 × 10¹⁰ W. Para escrevê-lo corretamente em notação científica, deslocamos a vírgula uma casa para a esquerda, transformando 12 em 1,2, e aumentamos o expoente de 10 em uma unidade. Desse modo, a potência máxima é 1,2 × 10¹¹ W.

Portanto, a alternativa [E] está correta.

As demais alternativas não correspondem ao produto entre a diferença de potencial máxima e a corrente máxima:

[A] \(6.0 \times 10^{6} \text{W} :\) esse valor corresponde apenas ao número associado à diferença de potencial máxima, cuja unidade original é volt, e não ao resultado da multiplicação por I. Por isso, não representa a potência elétrica solicitada.

[B] \(3.0 \times 10^{8} \text{W} :\) esse valor não resulta da multiplicação dos valores máximos fornecidos pelo gráfico. Ele pode estar associado a uma operação incorreta, como uma divisão, ou a um erro na leitura das escalas.

[C] \(2.4 \times 10^{9} \text{W} :\) esse resultado também não é obtido ao multiplicar 6,0 × 10⁶ por 2,0 × 10⁴. Portanto, decorre do uso incorreto dos valores ou das escalas do gráfico.

[D] \(3.6 \times 10^{12} \text{W} :\) esse valor resulta de erro na multiplicação dos coeficientes ou na soma dos expoentes de 10. A operação correta produz 12 × 10¹⁰ W, que equivale a 1,2 × 10¹¹ W.

Potência elétrica fornecida ao motor: Como a bateria mantém uma tensão constante de U = 120 V e o motor é representado por uma resistência R_m = 5 Ω, a potência elétrica recebida pelo motor pode ser calculada pela relação entre tensão e resistência:

\[P = \frac{U^{2}}{R}\]

Nessa expressão, P é a potência elétrica em watts, U é a tensão em volts e R é a resistência elétrica em ohms. Portanto, a resistência R da fórmula corresponde à resistência do motor, isto é, R = R_m.

Potência mecânica efetivamente fornecida pelo motor: O rendimento do motor é de 80%, ou seja, apenas 0,8 da potência elétrica de entrada é convertida em potência mecânica útil no eixo. Assim, a potência mecânica do motor é:

\(P_{m} = 0.8 \cdot \frac{U^{2}}{R}\) 

O fator 0,8 representa o rendimento na forma decimal, pois 80% corresponde a 80 dividido por 100. A diferença entre a potência elétrica de entrada e a potência mecânica útil corresponde às perdas do motor.

Por outro lado, a potência mecânica associada ao movimento de rotação é dada pelo produto entre o torque τ e a velocidade angular ω:

\(P_{m} = \tau \cdot \omega\) 

Nessa relação, τ é o torque, medido em N·m, e ω é a velocidade angular, medida em rad/s. Como o torque exigido pela bomba é constante e igual a 2,0 N·m, essa expressão permite determinar a rotação angular necessária para que o motor forneça a potência mecânica útil.

As duas expressões representam a mesma potência mecânica do motor. Por isso, podemos igualá-las:

\[\tau \cdot \omega = 0.8 \cdot \frac{U^{2}}{R}\]

Para obter a velocidade angular isoladamente, divide-se os dois lados da igualdade pelo torque τ. Em seguida, substituem-se os valores U = 120 V, τ = 2,0 N·m e R = 5 Ω:

\[\tau \cdot \omega = 0.8 \cdot \frac{U^{2}}{R}\] \[\omega = 0.8 \cdot \frac{U^{2}}{τR} = 0.8 \cdot \frac{120^{2}}{2 \cdot 5} = 0.8 \cdot \frac{14400}{10}\] \[\omega = 1152 \text{rad} / \text{s}\]

Logo, a velocidade angular necessária para o eixo do motor acionar a bomba, considerando o torque de 2,0 N·m e o rendimento de 80%, é 1152 rad/s. Portanto, a alternativa correta é e) 1152.

A potência elétrica média relaciona-se à tensão e à corrente pela expressão P = ΔV · i. Isolando a intensidade da corrente, divide-se a potência pela tensão aplicada:

A potência fornecida está expressa em quilowatts, mas a unidade de tensão está em volts. Como 1 kW = 1000 W, é necessário converter 4,4 kW para watts antes de realizar a divisão. Assim, 4,4 kW = 4400 W.

Substituindo a potência convertida e a tensão de 220 V na relação entre essas grandezas, obtém-se:

\[i = \frac{P}{\Delta V} = \frac{4.4 \text{kW}}{220 \text{V}} = \frac{4400 \text{W}}{220 \text{V}}\] \[i = 20 \text{A}\]

O resultado é expresso em ampères porque a razão entre watt e volt corresponde à unidade de corrente elétrica: W/V = A. Portanto, a intensidade da corrente que circula pelo aquecedor é de 20 A.

Logo, a alternativa correta é a) i = 20 A.

1. Cálculo da capacidade efetiva da bateria

A bateria possui capacidade total de 60 kWh. Entretanto, o carro utiliza somente 80% dessa capacidade antes de ser recarregado. Portanto, a energia efetivamente disponível para alimentar o motor corresponde ao produto entre a capacidade total e a fração utilizada, isto é, 0,80.

Assim, a capacidade efetiva da bateria é calculada por:

\[\text{E}_{\text{efetiva}} = 60 kWh \cdot 0.80\]

Multiplicando a capacidade total pelo percentual efetivamente utilizado, obtém-se:

\[E_{\text{efetiva}} = 48 kWh\]

Logo, a energia disponível para o deslocamento é de 48 kWh.

2. Cálculo do tempo máximo de funcionamento

A potência indica a quantidade de energia transferida ou consumida por unidade de tempo. Por isso, a relação entre potência P, energia E e tempo t é:

\[P = \frac{E}{t}\]

Isolando o tempo, multiplicamos os dois lados da igualdade por t e, em seguida, dividimos por P. Dessa forma:

\[t = \frac{E}{P}\]

Efetuando a divisão entre a energia disponível e a potência do motor:

\[t = 0.48 \text{h}\]

Portanto, mantendo a potência de 100 kW, o motor poderá funcionar durante 0,48 h, ou seja, 0,48 hora.

3. Cálculo da autonomia

A autonomia corresponde à distância total percorrida. Como a velocidade do carro é constante, a distância é obtida multiplicando a velocidade pelo tempo de funcionamento:

\[d = v \cdot t\]

Os dados do problema são:

v = 100 km/h

t = 0,48 h

Substituindo esses valores na relação da distância, as unidades hora se cancelam entre a velocidade e o tempo, resultando em quilômetros:

\[\begin{array}{l}\text{d}=\text{v}\cdot\text{t}\Rightarrow\text{d}=\text{100}\textrm{ }\text{km}/\text{h}\cdot\text{0},\text{48}\textrm{ }\text{h} \\ \text{d}=\text{48}\textrm{ }\text{km}\end{array}\]

Assim, a autonomia do carro, nas condições indicadas, é de 48 quilômetros. Portanto, a alternativa correta é b) 48 km.

Para determinar quantas atividades a estudante poderá executar sem que o dispositivo de proteção seja acionado, é necessário primeiro calcular a capacidade total de potência que a régua elétrica pode suportar. Sabendo que a tensão da rede é de 110 V e que a corrente máxima permitida pelo fusível é de 20 A, aplicamos a relação fundamental entre potência, tensão e corrente.

\(P = V \cdot I\)\(P = 110 \cdot 20\)

Dessa forma, o limite absoluto de consumo para a régua é de 2200 watts. No entanto, dois equipamentos já estão conectados e operando continuamente: o computador, que consome 250 W, e o condicionador de ar portátil, com potência nominal de 1100 W. Para descobrir quanto sobra de capacidade para as demais tarefas, subtraímos a carga permanente do limite total da régua.

\(P_{\text{dispon}\acute{i}\text{vel}} = P_{\text{total}} – P_{\text{computador}} – P_{\text{ar}}\)\(P_{\text{dispon}\acute{i}\text{vel}} = 2200 – 250 – 1100\)

Com isso, estabelecemos que há apenas 850 watts disponíveis para qualquer aparelho adicional. Analisando a sequência de tentativas propostas, a primeira atividade (imprimir o trabalho) e as demais, como ligar a luminária ou secar os cabelos, possuem potências nominais inferiores a esse limite, sendo perfeitamente compatíveis com a régua. Contudo, ao tentar realizar a segunda tarefa da lista, que consiste em preparar café utilizando a cafeteira, deparamo-nos com um consumo nominal de 900 W. Como essa exigência ultrapassa os 850 watts disponíveis, o sistema não consegue suportar a sobrecarga instantânea.

Consequentemente, o fusível se rompe imediatamente após essa tentativa, interrompendo o fornecimento de energia para todos os dispositivos conectados. Portanto, considerando a ordem cronológica das ações e o ponto exato em que a proteção é acionada, a estudante consegue completar com sucesso apenas uma atividade antes do desligamento da régua.

Considerando que a resistência elétrica do chuveiro permanece constante e que o resistor é ôhmico, a potência dissipada pode ser calculada pela relação entre a tensão aplicada U e a resistência R. A potência nominal de 4840 W corresponde à tensão nominal de 220 V, isto é, à situação para a qual o chuveiro foi projetado. Quando ele é ligado a uma rede de 110 V, a tensão aplicada passa a ser a metade da tensão nominal.

Como a resistência do chuveiro é a mesma nas duas situações, podemos comparar as potências usando a expressão da potência elétrica em um resistor:

\[\begin{array}{l}P = \frac{U^{2}}{R} \\ \frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{U_{1}^{2}}{\cancel{R}^{′}} \cdot \frac{\cancel{R}}{U_{2}^{2}} \\ \frac{P_{1}}{P_{2}} = \left(\frac{U_{1}}{U_{2}}\right)^{2} \\ \frac{4840}{P_{2}} = \left(\frac{220}{110}\right)^{2}\end{array}\] \[\frac{4840}{P_{2}} = 2^{2}\] \[P_{2} = \frac{4840}{4} P_{2} = 1210 \text{W} .\]

A primeira potência, P₁ = 4840 W, é a potência do chuveiro quando submetido à sua tensão nominal de 220 V. A segunda potência, P₂, é a potência efetivamente desenvolvida quando o aparelho recebe apenas 110 V.

Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão quando a resistência é constante, reduzir a tensão de 220 V para 110 V, ou seja, reduzi-la à metade, reduz a potência por um fator igual a 2² = 4. Portanto, o chuveiro não queima por sobrecarga nem deixa de funcionar completamente; ele apenas aquece a água com potência menor.

Logo, a alternativa correta é d) Funcionou com potência de 1210 W.

O rendimento do motor é de 80%, o que significa que 80% da energia recebida pelo motor é convertida em energia útil. Portanto, a parcela restante corresponde à energia dissipada ou desperdiçada:

100% − 80% = 20%

Assim, a energia dissipada corresponde a 20% da energia total fornecida ao motor durante os 20 s de funcionamento. Como a potência é a razão entre a energia e o tempo, a energia total fornecida pode ser obtida pelo produto entre a potência e o intervalo de tempo. Logo, a energia desperdiçada é calculada pela expressão:

\[E_{d} = \left(1 – \eta\right) \cdot P \cdot t\]

Nessa expressão, E_d representa a energia dissipada, η é o rendimento do motor, P é a potência fornecida e t é o tempo de funcionamento. Como o rendimento de 80% equivale a 0,8, a fração desperdiçada é 1 − 0,8 = 0,2. Substituindo os valores fornecidos no enunciado, com a potência em watts e o tempo em segundos:

\[E_{d} = 0.2 \cdot 500 \text{W} \cdot 20 \text{s}\]

Como 1 W = 1 J/s, o produto entre watts e segundos resulta em joules, que é a unidade de energia. Efetuando a multiplicação:

\[E_{d} = 2000 \text{J}\]

Portanto, a energia desperdiçada pelo motor durante os 20 s de funcionamento é de 2.000 J. A alternativa correta é a letra b.

A potência elétrica é a energia consumida por unidade de tempo. Como o circuito consome 1,8 J a cada segundo, sua potência é 1,8 W.

Em um resistor, a potência relaciona-se com a corrente elétrica e a resistência pela expressão:

\(P = I^{2} R\)

Isolando a corrente, obtém-se:

\(I = \sqrt{\frac{P}{R}}\)

Substituindo P = 1,8 W e R = 500 Ω:

\(I = \sqrt{\frac{1.8}{500}} = \sqrt{0.0036} = 0.06\)

A corrente encontrada está em ampères. Como 1 A corresponde a 1000 mA, a conversão é:

\(0.06 \text{ A} = 60 \text{ mA}\)