Exercícios de Plano Inclinado com resolução comentada

Como os blocos estão em repouso e na iminência do movimento, o módulo da força de atrito estático em cada bloco atinge seu valor máximo. Em ambos os planos, a componente do peso paralela ao plano tem módulo Psenθ, enquanto a componente perpendicular ao plano determina a força normal, de módulo mgcosθ. Assim, as forças de atrito máximas são μ₁mgcosθ e μ₂mgcosθ, respectivamente.

Do diagrama de forças abaixo, obtemos as condições de equilíbrio em cada bloco:

A primeira equação representa o bloco 1. Nesse bloco, a força externa F e a componente do peso paralela ao plano atuam no mesmo sentido do movimento iminente, sendo equilibradas pela força de atrito do bloco 1. Para o bloco 2, a componente do peso atua no sentido do movimento iminente e é equilibrada pela força externa F e pelo atrito do bloco 2.

\[\begin{cases} F + Psenθ = F_{at_{1}} \\ Psenθ = F + F_{at_{2}} \end{cases}\]

Como o peso de cada bloco é P = mg e o módulo máximo do atrito estático é dado pelo produto do coeficiente de atrito pela força normal, substituímos F_at = μN e N = mgcosθ nas duas equações:

\[\begin{cases} F + mgsenθ = \mu_{1} mgcosθ \\ mgsenθ = F + \mu_{2} mgcosθ \end{cases}\]

Agora, isolamos a força F em cada uma das equações. Na primeira, a componente do peso é transferida para o segundo membro. Na segunda, a força F é transferida para o primeiro membro, o que produz um valor negativo de F:

\[\begin{cases} F = \mu_{1} mgcosθ – mgsenθ \\ – F = \mu_{2} mgcosθ – mgsenθ \end{cases}\]

Somando membro a membro essas duas igualdades, os termos F e −F se anulam. Em seguida, todos os termos possuem o fator comum mg, que pode ser cancelado. Isso resulta em uma relação entre o ângulo do plano e os coeficientes de atrito:

\[0 = \mu_{1} \cancel{mg} cosθ + \mu_{2} \cancel{mg} cosθ – 2 \cancel{mg} senθ\]

Após o cancelamento do fator comum, reorganizamos a igualdade, colocando os termos que contêm o seno de um lado e os que contêm o cosseno do outro:

\[2 senθ = \left(\mu_{1} + \mu_{2}\right) cosθ\]

Dividindo os dois membros por 2cosθ, obtemos a razão entre o seno e o cosseno do ângulo. Essa razão é a tangente do ângulo, pois tgθ = senθ/cosθ:

\[tgθ = \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{2}\]

Portanto, a expressão correta é a da alternativa d), que afirma que tgθ é igual à soma dos coeficientes de atrito dividida por 2.

Observação: a questão foi anulada no gabarito oficial, pois o valor calculado não correspondia exatamente a nenhuma das alternativas originalmente apresentadas. Mantendo, contudo, o gabarito objetivo fornecido, a alternativa indicada é a letra A, cujo valor é aproximadamente 295 N.

Dados fornecidos:

\[\begin{cases} \theta = 30 \circ ; m = 50 \text{kg} ; \mu = 0.1 ; g = 10 \text{m} / s^{2} ; \\ sen 30 \circ = cos 60 \circ = \frac{1}{2} = 0.50 ; sen 60 \circ = cos 30 \circ = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.87 . \end{cases}\]

O bloco de dados informa que a massa da parte móvel é 50 kg, o plano forma um ângulo de 30° com a horizontal, o coeficiente de atrito cinético é 0,1 e a aceleração da gravidade adotada é 10 m/s². Também são fornecidos os valores aproximados do seno de 30° e do cosseno de 30°, necessários para decompor o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano.

A força muscular exercida pelas pernas é representada por \(\left(F\right)\). Ela atua paralelamente aos trilhos e para cima, no sentido do movimento. Como a parte móvel desliza para cima, a força de atrito cinético atua no sentido contrário, isto é, para baixo ao longo do plano. Além do atrito, a componente do peso paralela ao plano também aponta para baixo e se opõe ao movimento. Essa componente é representada por \(\left(\left(\overset{\rightarrow}{P}\right)_{x}\right) .\)

A força normal \(\left(N\right)\) é perpendicular à superfície do plano. A componente do peso perpendicular ao plano é representada por \(\left(\left(\overset{\rightarrow}{P}\right)_{y}\right) .\)

Para determinar o atrito, primeiro é necessário encontrar a força normal. Na direção perpendicular ao plano não há movimento da parte móvel; por isso, a força normal equilibra a componente perpendicular do peso. Essa componente é obtida multiplicando o peso pela componente trigonométrica correspondente ao cosseno do ângulo do plano:

\[N = P_{y} = m g cos \theta\]

Como o atrito é cinético, sua intensidade é dada pelo produto entre o coeficiente de atrito e a força normal. Assim, o atrito depende da componente do peso perpendicular ao plano, e não do peso total diretamente.

O movimento ocorre com velocidade constante. Portanto, a aceleração é nula e, consequentemente, a resultante das forças na direção paralela ao plano também é nula. Isso significa que a força exercida pelas pernas deve ter intensidade suficiente para equilibrar simultaneamente a componente do peso paralela ao plano e a força de atrito:

\[\begin{array}{l}F = P_{x} + F_{a t} \\ F = m g sen \theta + \mu N \\ F = m g sen \theta + \mu m g cos \theta\end{array}\]
\[F = m g \left(sen \theta + \mu cos \theta\right) = 500 \left(0.5 + 0.1 \cdot 0.87\right) = 500 \left(0.587\right) = 293.5 \text{N}\]
\[F \cong 295 \text{N}\]

Na expressão, o termo \(m g sen \theta\) corresponde à componente do peso paralela ao plano. Já o termo \(\mu m g cos \theta\) corresponde à força de atrito, obtida ao substituir a força normal por \(m g cos \theta\). A substituição dos valores fornece 293,5 N, que, com o arredondamento adotado no gabarito, resulta em aproximadamente 295 N.

Portanto, de acordo com o gabarito objetivo fornecido, a força exercida pelas pernas é aproximadamente 295 N, correspondente à alternativa A. Registra-se, entretanto, que o gabarito oficial anulou a questão porque não havia alternativa exatamente compatível com o valor calculado.

Considere \(\theta\) como o ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal. Como a caixa desliza sem atrito, a força resultante na direção paralela à rampa é a componente do peso nessa direção, dada por mgsenθ. Pela segunda lei de Newton, essa resultante é igual ao produto da massa pela aceleração da caixa.

Assim, podemos escrever:

\[\cancel{m} gsenθ = \cancel{m} a \\ 10 senθ = 6 \\ senθ = 0.6\]

A massa aparece nos dois lados da igualdade e, portanto, é simplificada. Em seguida, substituem-se os valores da aceleração da gravidade, g = 10 m/s², e da aceleração da caixa, a = 6,0 m/s². Dessa forma, obtém-se senθ = 0,6.

Para determinar a componente do peso perpendicular à rampa, é necessário calcular cosθ. Usando a relação trigonométrica sen²θ + cos²θ = 1 e o valor encontrado para senθ, temos:

\[cosθ = \sqrt{1 – 0 , 6^{2}} = 0.8\]

Na direção perpendicular à rampa, a caixa não se desloca nem possui aceleração. Portanto, a força normal, exercida pela rampa perpendicularmente à sua superfície, equilibra a componente perpendicular do peso. Logo, o módulo da força normal é:

\[N = mgcosθ\]
\[N = 2 \cdot 10 \cdot 0.8\]
\[N = 16 \text{N}\]

Portanto, o módulo da força normal exercida pela rampa sobre a caixa é 16 N. A alternativa correta é c).

Adotando como sentido positivo o sentido do movimento inicial do bloco para cima do plano inclinado, as forças que atuam ao longo do plano são:

• o componente do peso paralelo ao plano, de módulo Psenθ, orientado para baixo;
• a força de atrito cinético, de módulo F_at = μN, também orientada para baixo, pois se opõe ao movimento do bloco;
• a força resultante, responsável pela desaceleração, orientada no sentido oposto ao movimento.

A força normal vale N = mgcosθ. Portanto, a intensidade da força de atrito é F_at = μmgcosθ. Aplicando a segunda lei de Newton na direção do plano inclinado, obtém-se:

Desaceleração do bloco:

\[F_{R} = Psenθ + F_{\text{at}}\]

Como a força resultante e a aceleração estão no sentido oposto ao sentido positivo escolhido, a aceleração aparece com sinal negativo:

\[- \cancel{m} a = \cancel{m} gsenθ + \mu \cancel{m} gcosθ\]

A massa aparece em todos os termos e pode ser cancelada. Isolando a aceleração, resulta:

\[a = – g \left(senθ + μcosθ\right)\]

O sinal negativo confirma que o bloco está desacelerando: sua velocidade inicial é orientada para cima do plano, enquanto a aceleração é orientada para baixo.

Tempo decorrido até que o bloco pare:

Para determinar o instante em que o bloco para, utiliza-se a equação da velocidade no movimento uniformemente variado:

\[v = v_{0} + at\]

No instante em que o bloco para, a velocidade final é zero. Substituindo a aceleração encontrada:

\[0 = v_{0} – g \left(sen \theta + μcos \theta\right) t\]

Reorganizando essa igualdade, o termo que contém o tempo fica isolado. Assim, o tempo necessário para o bloco parar é:

\[t = \frac{v_{0}}{g \left(sen \theta + μcos \theta\right)}\]

Como os dois lançamentos têm a mesma velocidade inicial v₀ e estão sujeitos à mesma aceleração da gravidade g, esses fatores se cancelam ao calcular a razão entre os tempos. Para o primeiro lançamento, θ = 30^∘; para o segundo, θ = 60^∘. Logo:

\[\frac{t}{t^{'}} = \frac{\frac{v_{0}}{g \left(sen 30^{\circ} + μcos 30^{\circ}\right)}}{\frac{v_{0}}{g \left(sen 60^{\circ} + μcos 60^{\circ}\right)}} = \frac{sen 60^{\circ} + μcos 60^{\circ}}{sen 30^{\circ} + μcos 30^{\circ}}\]

Utilizando o coeficiente de atrito fornecido, μ = \(\frac{\sqrt{3}}{2} .\) Além disso, sen 30^∘ = 1/2, cos 30^∘ = √3/2, sen 60^∘ = √3/2 e cos 60^∘ = 1/2. Substituindo esses valores:

\[\frac{t}{t^{'}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{5}{4}}\]

Na última simplificação, o numerador é colocado sobre o denominador. Dividir por 5/4 equivale a multiplicar por 4/5, o que elimina os fatores 4:

\[\frac{t}{t^{'}} = \frac{3 \sqrt{3}}{5}\]

Portanto, a razão entre os tempos é \(\frac{3 \sqrt{3}}{5} .\) Assim, a alternativa correta é a) \(2 \sqrt{3}\)

A figura representa um bloco em repouso sobre um plano inclinado sem atrito. As forças relevantes são o peso do bloco, a força normal exercida pelo plano e a força de tração exercida pelo dinamômetro, que está paralelo à superfície.

Para analisar o movimento, o peso do bloco é decomposto em duas componentes: uma perpendicular ao plano, responsável pela compressão do bloco contra a superfície, e outra paralela ao plano, responsável pela tendência de o bloco deslizar para baixo.

I. Incorreta. Na direção perpendicular ao plano, o bloco permanece em equilíbrio. Portanto, a força normal N tem o mesmo módulo da componente perpendicular do peso, representada por P_y

\[N = P_{y} = m g cos 30^{\circ} = 50 \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Nessa expressão, m = 5 kg é a massa, g = 10 m/s² é a aceleração da gravidade e cos 30° = √3/2. Assim, o módulo da força normal é

\[\boxed{N = 25 \sqrt{3}}\]

Logo, a força normal não é igual a 50 N. A afirmativa I é incorreta.

II. Correta. Na direção paralela ao plano, o bloco também está em repouso. Como não há atrito, a tração exercida pelo dinamômetro deve equilibrar a componente do peso paralela ao plano, representada por P_x

\[F = P_{x} = m g sen 30^{\circ} = 50 \frac{1}{2}\]

Como sen 30° = 1/2, a componente do peso paralela ao plano vale 25 N. Para manter o bloco em repouso, o dinamômetro exerce uma força de mesmo módulo e sentido contrário

\[\boxed{F = 25 \text{N}}\]

Portanto, a leitura do dinamômetro é 25 N, e a afirmativa II é correta.

III. Incorreta. Se o dinamômetro for retirado, deixa de existir a força que equilibrava a componente do peso paralela ao plano. Como não há atrito, a força resultante nessa direção será justamente essa componente tangencial do peso

\[F_{R} = P_{x}\]

Aplicando a segunda lei de Newton, F_R = ma, e utilizando a expressão da componente paralela do peso, obtém-se

\[\cancel{m} a = \cancel{m} g sen 30 \circ = 10 \frac{1}{2}\]

A massa aparece nos dois membros e pode ser cancelada. Portanto, a aceleração do bloco é

\[a = 5 \text{m} / s^{2}\]

O valor apresentado na afirmativa III, \(\frac{5 \sqrt{3}}{2} \text{m} / s^{2} .\) não corresponde à aceleração determinada para o bloco. Assim, a afirmativa III é incorreta.

Conclui-se que somente a afirmativa II está correta. Portanto, a alternativa correta é b) apenas II está correta.

Como o bloco está em repouso, mas na iminência de começar a deslizar para baixo do plano, a força de atrito estático atua para cima do plano e atinge seu valor máximo. Nessa condição-limite, a força de atrito equilibra exatamente a componente do peso paralela ao plano inclinado:

\[F_{\text{at m}\acute{a}\text{x}} = P_{x}\]
\[\mu_{e } \cdot N = m \cdot g \cdot senθ\]

A primeira igualdade expressa o equilíbrio na direção paralela ao plano. A força de atrito estático máximo é dada por μ_eN, em que μ_e é o coeficiente de atrito estático e N é o módulo da força normal. Já a componente do peso paralela ao plano é mg senθ, pois o peso tem módulo mg e sua componente na direção do plano é obtida pelo seno do ângulo de inclinação.

Na direção perpendicular ao plano, o bloco também permanece em equilíbrio. Como não há aceleração nessa direção, a força normal possui módulo igual à componente perpendicular do peso. Essa componente é mg cosθ:

\[N = m \cdot g \cdot cos \theta\]

Substituindo essa expressão para a força normal na condição de iminência de movimento, obtém-se:

\[\mu_{e} \cdot \cancel{m \cdot g} \cdot cosθ = \cancel{m \cdot g} \cdot senθ\]
\[\mu_{e} = \frac{senθ}{cosθ}\]
\[\mu_{e} = tgθ\]

Na segunda etapa, os fatores m e g aparecem nos dois lados da igualdade e são cancelados. Em seguida, divide-se ambos os lados por cosθ, resultando na razão entre senθ e cosθ. Essa razão é, por definição, a tangente do ângulo θ.

Portanto, a relação procurada é μ_e = tgθ, correspondente à alternativa a).

O tempo de reação da mãe corresponde ao intervalo entre o instante em que ela percebe a queda da régua e o instante em que consegue segurá-la. Durante esse intervalo, a régua parte do repouso e cai uma distância de 20 cm, ou seja, 0,20 m. Como a queda é vertical e desprezando a resistência do ar, aplica-se a equação da queda livre:

\[h = \frac{1}{2} gt_{r}^{2}\]

Nessa expressão, h é a distância percorrida pela régua, g é a aceleração da gravidade e t_r é o tempo de reação. Isolando o tempo de reação, obtém-se:

\[t_{r} = \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.2}{10}} = \sqrt{0.04}\]

A substituição utiliza h = 0,2 m e g = 10 m/s². Portanto:

\[t_{r} = 0.2 \text{s}\]

Assim, a mãe demora 0,2 s entre perceber o obstáculo e iniciar a frenagem.

Antes de frear, o carro desce o plano inclinado sem atrito. Na direção perpendicular à superfície da rua, a força resultante é nula, pois a força normal equilibra a componente perpendicular do peso. Na direção tangencial, paralela à rua, a força resultante é a componente do peso que aponta para baixo da rampa, representada por \(\left(\left(\overset{\rightarrow}{P}\right)_{x}\right) .\)

Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica na direção tangencial, a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração:

\[F_{R} = P_{x}\]

A componente tangencial do peso é dada por m g sen θ. Logo:

\[\cancel{m} a = \cancel{m} g senθ\]

A massa aparece nos dois lados da igualdade e pode ser cancelada. Dessa forma, a aceleração do carro ao descer a rua depende apenas da gravidade e da inclinação:

\[a = g sen 30 \circ = 10 \cdot 0.5\]

Portanto:

\[a = 5 \text{m} / s^{2}\]

A velocidade inicial é informada em quilômetros por hora, mas as grandezas da equação devem estar em unidades do Sistema Internacional. Convertendo:

18 km/h = 5 m/s

Durante o tempo de reação, o carro continua descendo a rua e, portanto, continua acelerado. A distância percorrida nesse intervalo é calculada pela equação do movimento uniformemente variado:

\[d = v_{0} t_{r} + \frac{a}{2} t_{r}^{2}\]

Nessa equação, d é a distância percorrida durante a reação, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração do carro e t_r é o tempo de reação. Substituindo v₀ = 5 m/s, t_r = 0,2 s e a = 5 m/s²:

\[d = 5 \left(0.2\right) + \frac{5}{2} \left(0.2\right)^{2} = 1 + 0.1\]

O primeiro termo, 5 · 0,2 = 1 m, corresponde à distância que o carro percorreria se mantivesse a velocidade inicial constante. O segundo termo, 0,1 m, representa o acréscimo de distância causado pela aceleração durante a descida. Assim:

\[d = 1.1 \text{m} .\]

Logo, entre o instante em que a mãe vê o buraco e o instante em que pisa no freio, o carro percorre 1,10 m. Portanto, a alternativa correta é a) 1,10 m.

O diagrama de forças reúne as forças que atuam no bloco e no homem. Como o fio e a roldana são ideais, a tensão tem o mesmo módulo em todos os trechos do fio. Assim, a tensão que puxa o bloco para cima ao longo do plano inclinado é igual à tensão que puxa o homem verticalmente para baixo.

Como o bloco permanece em repouso, sua aceleração é nula. O homem também está em repouso, portanto a aceleração do sistema é nula. Pela segunda lei de Newton, a força resultante sobre o sistema deve ser igual ao produto da massa pela aceleração. Nesse caso, como a aceleração é zero, a resultante é nula:

\[F_{R} = m \cdot a\]

Ao analisar o sistema formado pelo bloco e pelo homem, as duas forças de tensão são internas ao sistema: a tensão puxa o bloco em um sentido e o homem no sentido oposto. Por isso, elas se cancelam na soma das forças do sistema, como indicado pelas marcações sobre os termos T. Restam a componente do peso do bloco paralela ao plano, a força normal exercida pelo piso sobre o homem e o peso do homem:

\[P_{x} – \cancel{T} + \cancel{T} + N – P_{h} = 0\]

Para o bloco, a componente do peso na direção do plano inclinado é P_x = m_b⋅g⋅sen 30°. Ela aponta para baixo ao longo do plano. Para o homem, o peso é P_h = m_h⋅g, dirigido para baixo, enquanto a força normal N exercida pelo piso é dirigida para cima. Substituindo essas expressões na equação da resultante nula, obtém-se:

\[m_{b} \cdot g \cdot sen 30^{\circ} + N – m_{h} \cdot g = 0\]

Nessa expressão, m_b = 60 kg é a massa do bloco e m_h = 80 kg é a massa do homem. Isolando N, transferimos para o outro lado os termos que representam a componente do peso do bloco e o peso do homem:

\[N = m_{h} \cdot g – m_{b} \cdot g \cdot sen 30^{\circ}\]

Colocando a aceleração da gravidade g em evidência, a expressão pode ser escrita de forma fatorada:

\[N = g \left(m_{h} – m_{b} \cdot sen 30^{\circ}\right)\]

Usando g = 10 m/s², m_h = 80 kg, m_b = 60 kg e sen 30° = 0,5, fazemos a substituição numérica:

\[N = 10 \left(80 – 60 \cdot 0.5\right)\]

O produto 60⋅0,5 corresponde à componente do peso do bloco paralela ao plano, enquanto o valor 80 corresponde à massa do homem. Efetuando as operações dentro dos parênteses e multiplicando o resultado por 10, encontramos:

\[N = 500 \text{N}\]

Logo, o módulo da força exercida pelo piso horizontal sobre o homem é 500 N. Portanto, a alternativa correta é c).

Na direção perpendicular ao plano, a força normal equilibra a componente perpendicular do peso. Como essa componente vale mg cos θ, temos:

A componente do peso paralela ao plano aponta para baixo e tem intensidade mg sen θ. No equilíbrio estático, o atrito estático deve equilibrá-la:

O atrito estático não pode superar seu valor máximo, μ_eN. Portanto, o equilíbrio exige:

Substituindo as expressões para o atrito necessário e para a normal, e cancelando mg, obtém-se:

Assim, μ_e = tg θ, como propõe a alternativa B, só ocorreria no limite entre permanecer em repouso e começar a deslizar. O enunciado não exige que o bloco esteja nesse limite. A igualdade μ_e = sen θ, apresentada na alternativa A, também não decorre da condição de equilíbrio.

Para o movimento, adotando como sentido positivo o sentido de descida, a força resultante paralela ao plano é a componente do peso menos o atrito dinâmico:

Com N = mg cos θ, a aceleração fica:

Se a intenção for dizer que o bloco acelera para baixo, é necessário que a força resultante também aponte para baixo. Nesse caso, μ_d < tg θ, condição que não aparece nas alternativas C ou D. A igualdade μ_d = tg θ, da alternativa D, corresponde a aceleração nula; o bloco poderia descer com velocidade constante, mas isso não é informado. Se μ_d > tg θ, como na alternativa C, a aceleração aponta para cima; ainda assim, um bloco que já esteja descendo pode continuar nesse sentido por algum tempo, enquanto perde velocidade.

Como o enunciado não especifica a aceleração nem a velocidade do bloco na situação de descida, não há uma única alternativa que decorra das condições apresentadas. A questão foi anulada.

Como o bloco desliza com velocidade constante, sua aceleração é nula. Portanto, pela segunda lei de Newton, a força resultante na direção do plano inclinado também deve ser nula.

Na direção paralela ao plano, a componente do peso que tende a fazer o bloco descer é equilibrada pela força de atrito, que atua no sentido contrário ao movimento. A componente do peso paralela ao plano inclinado tem módulo

\[F_{\text{at}} = Mgsenθ\]

A força de atrito cinético é calculada pelo produto entre o coeficiente de atrito \[\mu\] e a força normal. Como não há outras forças perpendiculares ao plano, a força normal é igual à componente perpendicular do peso, cujo módulo é

\[Mg cosθ\]

Assim, igualando o módulo da força de atrito à componente do peso paralela ao plano, obtemos

\[\mu \cancel{Mg } cosθ = \cancel{Mg } senθ\]

Os fatores \[Mg\] aparecem nos dois lados da igualdade e podem ser cancelados. Resta, portanto,

\[\mu = \frac{senθ}{cosθ}\]

Pela definição da tangente, a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo é igual à sua tangente. Logo,

\[\mu = tgθ\]

Portanto, o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado é tgθ, correspondente à alternativa c.