Exercícios da Segunda Lei de Newton com resolução comentada

No trecho II, o movimento é progressivo e retardado: o motociclista continua avançando no sentido positivo, mas sua velocidade diminui até chegar a zero. Para determinar a força resultante, é necessário calcular primeiro a aceleração nesse intervalo e, em seguida, aplicar o Princípio Fundamental da Dinâmica.

A velocidade inicial do trecho II é a velocidade constante do trecho I. Como ela foi fornecida em quilômetros por hora, devemos convertê-la para metros por segundo, unidade compatível com o tempo em segundos e com a unidade da aceleração:

\[36 \text{km} / \text{h} = 10 \text{m} / \text{s}\]

No trecho II, o motociclista inicia o movimento com velocidade de 10 m/s e termina parado, portanto sua velocidade final é igual a zero. Esse trecho dura de t = 30 s até t = 50 s, de modo que o intervalo de tempo é de 20 s.

A relação entre velocidade, aceleração e tempo no movimento com aceleração constante é:

\[v = v_{0} + a \cdot t\]

Isolando a aceleração, obtemos:

\[a = \frac{v – v_{0}}{t} = \frac{\left(0 – 10\right) m / \text{s}}{20 \text{s}}\]

Substituindo a velocidade final igual a zero, a velocidade inicial igual a 10 m/s e o intervalo de tempo igual a 20 s, a variação da velocidade é negativa, pois o motociclista está diminuindo sua velocidade:

\[a = – 0.5 \text{m} / s^{2}\]

O sinal negativo indica que a aceleração tem sentido oposto ao da velocidade. Para determinar o módulo da força resultante, interessa o valor absoluto da aceleração. Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, a força resultante é dada pelo produto da massa pela aceleração:

\[F_{R} = m \cdot a\]

Como a questão solicita o módulo da força, usamos o módulo da aceleração:

\[\left|\right. F_{R} \left|\right. = m \cdot \left|a\right|\]

Substituindo a massa de 180 kg e o módulo da aceleração, que é 0,5 m/s²:

\[\left|\right. F_{R} \left|\right. = 180 \text{kg} \cdot \left|- 0.5 \text{m} / s^{2}\right|\]

O módulo elimina o sinal negativo da aceleração, pois a força solicitada é uma grandeza escalar positiva:

\[\left|\right. F_{R} \left|\right. = 90 \text{N}\]

Assim, o módulo da força resultante que atua no conjunto motociclista mais motocicleta durante o trecho II é igual a 90 N. Portanto, a alternativa correta é b) 90 N.

Como as forças de resistência ao movimento são desprezadas, a força resultante na direção horizontal da decolagem é igual à soma das forças de propulsão exercidas pelos dois motores. A relação entre força resultante, massa e aceleração é dada pela Segunda Lei de Newton:

\[F_{R} = m \cdot a .\]

Nessa relação, \(F_{R}\) representa a força resultante, \(m\) é a massa do avião e \(a\) é a aceleração desenvolvida. Como os dois motores atuam no mesmo sentido, suas forças devem ser somadas. Cada motor exerce uma força máxima de 98 000 N, portanto:

\[F_{R} = 2 \cdot 98000 = 196000 \text{N}\]

Assim, a força resultante máxima disponível é de 196 000 N. Para determinar a aceleração, isolamos \(a\) na Segunda Lei de Newton, dividindo os dois lados da igualdade pela massa \(m\). Em seguida, substituímos a força resultante de 196 000 N e a massa máxima de 80 000 kg:

\[a = \frac{F_{R}}{m} = \frac{196000}{80000}\] \[a = 2.45 \text{m} / s^{2}\]

A unidade obtida é \(m / s^{2}\), pois, pela Segunda Lei de Newton, a aceleração é a razão entre força, medida em newtons, e massa, medida em quilogramas. Portanto, a maior aceleração possível ocorre quando os dois motores fornecem simultaneamente suas forças máximas:

Alternativa A: incorreta. O valor de 0,82 m/s² é inferior ao resultado obtido quando se considera a força total dos dois motores e, portanto, não corresponde à aceleração máxima do avião.

Alternativa B: incorreta. O valor de 0,41 m/s² também não resulta da aplicação correta da Segunda Lei de Newton. Ele pode estar associado a uma divisão incorreta ou à consideração inadequada da força disponível.

Alternativa C: correta. O valor de 2,45 m/s² é obtido dividindo-se a força total dos dois motores, 196 000 N, pela massa do avião, 80 000 kg.

Alternativa D: incorreta. O valor aproximado de 1,23 m/s² seria obtido considerando apenas um motor, pois 98 000 N divididos por 80 000 kg correspondem aproximadamente a esse resultado. Entretanto, o avião possui dois motores funcionando na situação descrita.

Alternativa E: incorreta. O valor de 2,83 m/s² é maior que a aceleração permitida pela força máxima total de 196 000 N aplicada à massa de 80 000 kg.

Logo, a maior aceleração que o Airbus A320 pode desenvolver, nas condições apresentadas, é de 2,45 m/s². Portanto, a resposta é a alternativa C.

A ocorrência de uma queda simultânea entre objetos com massas e formatos distintos, como a pena e o martelo, fundamenta-se nos princípios da mecânica clássica sob condições específicas de vácuo. Em um ambiente onde existe uma atmosfera, como na Terra, os corpos em queda sofrem a influência de uma força de resistência do ar, também chamada de força de arrasto. Essa força depende diretamente da área da seção transversal do objeto e da sua velocidade, o que faz com que objetos leves e com grande superfície, como uma pena, sejam retardados significativamente em comparação a objetos densos e aerodinâmicos, como um martelo.

No entanto, o fenômeno observado na Lua ocorre devido à inexistência de uma camada atmosférica significativa em sua superfície. Sem ar para interagir com os corpos em queda, a única força relevante atuante sobre eles é a força gravitacional. De acordo com a Segunda Lei de Newton e a Lei da Gravitação Universal, embora a força peso seja proporcional à massa do objeto, a aceleração que esse objeto adquire durante a queda livre é constante para todos os corpos próximos à superfície, independentemente de suas características físicas individuais.

Dessa forma, na ausência de resistência aerodinâmica, o tempo necessário para que qualquer objeto percorra uma determinada altura depende exclusivamente da aceleração da gravidade local e da distância percorrida. Como a Lua não possui atmosfera para gerar forças de oposição ao movimento, tanto a pena quanto o martelo aceleram exatamente com o mesmo valor gravitacional, atingindo o solo no mesmo instante.

Determinação da força resultante

Como a superfície é horizontal e não há atrito inicialmente, as forças horizontais são apenas a força de 20 N, responsável pelo movimento, e a força de 10 N, aplicada em sentido contrário. Portanto, essas forças possuem sentidos opostos e a força resultante é obtida pela diferença entre seus módulos. O sentido da resultante é o mesmo da força de 20 N, pois ela é a maior das duas forças.

\[F_{R} = 20 \text{N} – 10 \text{N}\]

A subtração das forças horizontais fornece o módulo da força resultante.

\[F_{R} = 10 \text{N}\]

Assim, a força resultante que atua sobre o bloco é de 10 N, no sentido da força aplicada de 20 N.

Determinação da aceleração

Para encontrar a aceleração, aplica-se a 2ª Lei de Newton. Essa lei estabelece que a força resultante sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração. No problema, a massa do bloco é 5 kg e a força resultante calculada é 10 N.

\[F_{R} = m \cdot a\]

Substituindo a força resultante e a massa pelos valores conhecidos, obtém-se:

\[10 \text{N} = 5 \text{kg} \cdot a\]

Para isolar a aceleração, divide-se ambos os membros da igualdade pela massa, que vale 5 kg.

\[a = \frac{10 \text{N}}{5 \text{kg}}\]

Como a unidade N/kg equivale a m/s², o resultado da divisão determina a aceleração do bloco.

\[a = 2 \text{m} / s^{2}\]

Logo, a aceleração do bloco é de 2 m/s², no mesmo sentido da força resultante.

Determinação do coeficiente de atrito para velocidade constante

Na terceira situação, a força de 10 N é substituída por uma força de atrito. Para que o bloco se mova com velocidade constante, sua aceleração deve ser nula. Pela 2ª Lei de Newton, isso significa que a força resultante horizontal também deve ser nula.

F_R = 0

A força resultante horizontal é a diferença entre a força aplicada de 20 N e a força de atrito. Portanto, para que a resultante seja nula, a força de atrito deve ter o mesmo módulo da força aplicada e sentido contrário.

\[\begin{array}{l}F_{R} = F – F_{\text{at}} = 0 \\ F = F_{\text{at}} \\ F = \mu \cdot N \overset{N = P \left(horizontal\right)}{\rightarrow} F = \mu \cdot m \cdot g\end{array}\]

Como a superfície é horizontal e não há outras forças verticais além do peso e da força normal, a força normal tem módulo igual ao peso. Assim, N pode ser substituída por m⋅g. Igualando a força aplicada à força de atrito e isolando o coeficiente de atrito, resulta:

\[\mu = \frac{F}{m \cdot g} = \frac{20 \text{N}}{5 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2}} \mu = 0.4\]

O coeficiente de atrito necessário é, portanto, 0,4. Reunindo os resultados, a aceleração é 2 m/s², a força resultante inicial é 10 N e o coeficiente de atrito necessário para o movimento com velocidade constante é 0,4. Portanto, a alternativa correta é c) 2 m/s²; 10 N; 0,4.

Como os três blocos estão presos por fios ideais, isto é, fios de massas desprezíveis e que mantêm os blocos com a mesma aceleração, podemos analisar inicialmente o conjunto formado pelos blocos I, II e III. Cada bloco tem massa de 200 g = 0,2 kg; portanto, a massa total do sistema é 0,6 kg. A força externa F é dirigida para cima, enquanto o peso total do sistema é dirigido para baixo.

O peso de cada bloco é dado por P = mg. Com m = 0,2 kg e g = 10 m/s², cada bloco pesa 2 N. Assim, o peso dos três blocos é 6 N. Aplicando o princípio fundamental da dinâmica ao sistema, tomando o sentido para cima como positivo:

\[\begin{array}{l}F_{R}^{\text{sist}} = F – P_{\text{sist}} \\ M_{\text{sist}} a = F – P_{\text{sist}} \\ 3 \left(0.2\right) a = 9 – 3 \left(2\right)\end{array}\] \[a = \frac{3}{0.6}\] \[\underline{a = 5 \text{m} / s^{2 }}\right|\]

Na substituição, 3(0,2) representa a massa total dos três blocos, enquanto 3(2) representa o peso total, pois cada bloco tem peso de 2 N. O resultado mostra que os três blocos sobem com aceleração de módulo 5 m/s².

Como os fios são ideais, o bloco II também possui essa mesma aceleração. Para determinar a resultante das forças que atuam especificamente sobre ele, aplica-se novamente o princípio fundamental da dinâmica, agora considerando apenas a massa do bloco II, que é 0,2 kg:

\[F_{\text{RII}} = m_{\text{II}} a = 0.2 \left(5\right)\] \[\boxed{ F_{\text{RII}} = 1 \text{N} }\]

Logo, a resultante das forças sobre o bloco II tem módulo igual a 1 N. Portanto, a alternativa correta é a).

A figura representa as forças que atuam no bloco. A força exercida pela superfície pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares: a componente normal, perpendicular à superfície, e a componente de atrito, paralela à superfície:

Os símbolos utilizados são definidos a seguir:

\[\left\{\right. \begin{matrix}P : peso do bloco ; \\ F_{S} : força que a superfície aplica no bloco ; \\ \underset{\underline}{N} : componente normal da força que a superfície aplica no bloco ; \\ A : componente de atrito da força que a superfície aplica no bloco .\end{matrix}\]

Como o bloco se desloca sobre uma superfície horizontal e não há movimento na direção vertical, sua aceleração vertical é nula. Pela segunda lei de Newton, isso significa que a resultante das forças verticais também é nula:

\[R_{y} = 0\]

Na direção vertical, atuam o peso, dirigido para baixo, e a componente normal da força da superfície, dirigida para cima. Portanto, os módulos dessas duas forças são iguais:

\[N = P\]

O peso do bloco foi informado como 120 N. Assim, a componente normal da força exercida pela superfície também tem módulo 120 N:

\[\underline{N = 120 \text{N}}\right|\]

Na direção horizontal, a única componente da força da superfície é a força de atrito. Como o bloco realiza movimento uniformemente retardado, existe uma aceleração horizontal no sentido oposto ao movimento. Logo, a resultante horizontal é o próprio atrito. O enunciado informa que o módulo dessa resultante é 50 N:

\[R_{x} = A\]

Consequentemente, o módulo da componente de atrito é:

\[\underline{A = 50 \text{N}}\right|\]

A força total exercida pela superfície é a soma vetorial de suas componentes normal e de atrito. Como essas componentes são perpendiculares entre si, seus módulos e o módulo da força resultante formam um triângulo retângulo. Portanto, aplica-se o teorema de Pitágoras:

\[F_{s}^{2} = N^{2} + A^{2} = 50^{2} + 120^{2}\]

Nessa expressão, \(F_{s}\) representa o módulo da força total da superfície, enquanto \(N\) e \(A\) representam, respectivamente, suas componentes normal e de atrito. Substituindo os valores e efetuando os cálculos:

\[F_{s} = \sqrt{2.500 + 14.400} = \sqrt{16.900}\]

Como a raiz quadrada de 16 900 é 130, obtém-se:

\[\boxed{F_{s} = 130 \text{N}}\]

Portanto, o módulo da força que a superfície exerce sobre o bloco é 130 N, correspondente à alternativa e).

Para determinar a dimensão da força no sistema de unidades hipotético, deve-se partir da Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração:

\[F = ma\]

Nessa relação, F representa a força, m representa a massa e a representa a aceleração. Como a aceleração corresponde à variação da velocidade ao longo do tempo, sua dimensão pode ser expressa como a razão entre a dimensão da velocidade e a dimensão do tempo. Assim, a força pode ser escrita em função da massa, da velocidade e do tempo:

\[F = m \frac{v}{t}\]

Para obter a dimensão da força, substitui-se cada grandeza por sua dimensão. A massa tem dimensão M, a velocidade é uma das grandezas de base e, portanto, tem dimensão V, enquanto o tempo tem dimensão T. Dividir por T equivale a multiplicar por T⁻¹:

\[\left[F\right] = \left[M \cdot V \cdot T^{- 1}\right] .\]

Logo, no sistema hipotético em que massa, velocidade e tempo são as grandezas de base, a dimensão da força é M⋅V⋅T⁻¹. Portanto, a alternativa correta é a).

O impulso de uma força é igual à variação da quantidade de movimento da partícula. Pelo teorema do impulso, essa relação é expressa por:

\[I = F \Delta t = m \Delta v\]

Nessa expressão, I representa o impulso, m é a massa da partícula e Δv é a variação da velocidade. Como a massa permanece constante, a variação da velocidade é a diferença entre a velocidade final e a velocidade inicial:

\[- 28 = 2 \left(v – 10\right)\]

O impulso é negativo porque a força atua no sentido oposto ao movimento inicial. Substituindo o impulso por −28 N·s, a massa por 2 kg, a velocidade final por v e a velocidade inicial por 10 m/s, obtém-se a equação acima. Resolvendo-a:

\[v = – 4 \text{m} / \text{s}\]

O sinal negativo indica que, ao final da ação da força, a partícula se move no sentido contrário ao sentido inicialmente escolhido como positivo. Portanto, a velocidade escalar algébrica final é −4 m/s, correspondente à alternativa d).

O princípio físico envolvido é o teorema do impulso, que relaciona o impulso da força resultante à variação da quantidade de movimento do carro:

\[I_{F} = ΔQ\] \[FΔt = ΔQ\] \[F = \frac{ΔQ}{Δt}\]

Nessas relações, \(I_{F}\) representa o impulso da força, \(F\) é a força média exercida durante a colisão, \(Δt\) é o intervalo de tempo de contato e \(ΔQ\) é a variação da quantidade de movimento do carro.

Nas duas situações, o carro parte de um estado de movimento e precisa atingir o repouso. Portanto, considerando que a massa e a velocidade inicial do carro são as mesmas, a variação de sua quantidade de movimento também é a mesma nos dois casos. Isso significa que o impulso recebido pelo carro tem o mesmo módulo, independentemente de ele colidir com o feno ou com a parede.

A diferença está no tempo de colisão. O monte de feno se deforma e permite que o carro reduza sua velocidade ao longo de um intervalo de tempo maior. Já a parede de concreto praticamente não se deforma, fazendo com que o carro atinja o repouso em um intervalo de tempo menor.

De acordo com a expressão da força, para uma mesma variação da quantidade de movimento, quanto menor for o tempo de contato, maior será a força média exercida. Assim, a colisão com a parede de concreto produz uma força mais intensa e, consequentemente, tende a causar danos maiores. No monte de feno, o tempo de contato é maior, o que reduz a intensidade média da força sobre o carro.

Logo, o carro será impulsionado na mesma proporção nos dois casos, pois sua variação da quantidade de movimento é a mesma, mas a força será mais intensa na colisão com a parede e o tempo de contato será maior na colisão com o monte de feno. Portanto, a alternativa correta é e).

Como o atrito é desconsiderado, a única força horizontal externa que atua sobre o conjunto das três caixas é a força constante de 1200 N exercida pela empilhadeira. Portanto, podemos analisar as três caixas como um único sistema, cuja massa total é a soma das massas individuais.

Calculando a aceleração do sistema:

\[F = \left(m_{1} + m_{2} + m_{3}\right) a\] \[1.200 = \left(400 + 100 + 700\right) a\] \[a = 1 \text{m} / s^{2}\]

A soma das massas é 1200 kg. Aplicando a segunda lei de Newton, F = ma, a força resultante de 1200 N produz no conjunto uma aceleração de 1 m/s². Como as caixas permanecem em contato, todas possuem essa mesma aceleração.

Para determinar a força de contato entre as caixas 1 e 2, é conveniente considerar apenas o subsistema formado pelas caixas 2 e 3. A caixa 1 exerce sobre esse subsistema a força de contato \(F_{12}\), que é responsável por acelerar conjuntamente as caixas 2 e 3. A massa desse subsistema é \(\left(m_{2} + m_{3}\right)\).

A força de contato entre as caixas 1 e 2 acelera as caixas 2 e 3; assim:

\[F_{12} = \left(m_{2} + m_{3}\right) a\] \[F_{12} = \left(100 + 700\right) 1\]

\(F_{12} = 800 \text{N}\) a lateral da caixa 2, entre as caixas 1 e 2, rompe-se.

Isso ocorre porque a lateral da caixa 2 suporta, no máximo, 750 N, enquanto a força de contato calculada é de 800 N. Como \(800 \text{N} > 750 \text{N}\), a força excede a resistência máxima da lateral e provoca sua ruptura.

Logo, a alternativa correta é c): a caixa 1 empurra a caixa 2 com força de 800 N, fazendo com que a lateral da caixa 2 localizada entre elas se rompa.