Exercícios de Movimento Circular

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

O plano de rotação de Orlo é paralelo ao plano de rotação do Equador, como mostra a figura a seguir.

A aceleração centrípeta em Orlo aponta para o centro do seu plano de rotação mostrado na figura (seta vermelha) e o peso de um cidadão de Orlo aponta para o centro da Terra (seta laranja). Como a latitude é de 60° e os planos de rotação destacados são paralelos, o ângulo entre a aceleração centrípeta e a força gravitacional em Orlo é exatamente igual à sua latitude, ou seja, o ângulo $\left(\mathrm{\theta }\right)$ em questão é de 60°. Nota-se que o ângulo que fornece a latitude é um ângulo alterno interno entre dois planos paralelos, e, portanto, são ângulos idênticos.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Geografia]

A latitude é a distância medida em graus entre qualquer ponto da superfície da Terra e a linha do Equador. Já a atração gravitacional é exercida pela Terra sobre um determinado corpo é orientada pelo centro do planeta. A aceleração centrípeda é orientada para o centro do movimento em curva descrito pelo corpo. Portanto, o ângulo corresponde a latitude de Oslo, capital norueguesa, isto é, 60°.

[A] Falsa. Como a esfera gira em movimento uniforme, a sua aceleração escalar é nula.

[B] Falsa. Como o movimento é circular, a direção da velocidade é variável.

[C] Falsa. A aceleração (centrípeta) possui direção variável.

[D] Falsa. Assim como a aceleração, a força centrípeta também possui direção variável.

[E] Verdadeira. A intensidade da resultante centrípeta apresenta intensidade (módulo) constante.

Para resolver esta questão, aplicamos conceitos de movimento circular uniforme.

Primeiro, calculamos o comprimento da circunferência da roda (C) usando o raio r = 3cm = 0,03m e $\mathrm{\pi }=3:$

$\mathrm{C}=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}=2·3·0,03=0,18\mathrm{m}$

A velocidade linear do skate (v) é igual à velocidade tangencial da periferia da roda. A relação entre velocidade, comprimento e frequência (f) é:

$\mathrm{v}=\mathrm{C}·\mathrm{f}$

$4,5=0,18·\mathrm{f}$

$\mathrm{f}=\frac{4,5}{0,18}=25\mathrm{Hz}$ (rotações por segundo).

Para converter para rotações por minuto (rpm), multiplicamos por 60:

$25·60=1500\text{rpm}$

Justificativa das alternativas:

[B] Correta: Resultado exato do cálculo de conversão entre velocidade linear e frequência em rpm.

[A], [C] e [E] Incorretas: Valores decorrentes de erros de cálculo no comprimento da circunferência ou manipulação algébrica das unidades de medida.

[D] Incorreta: Representa a frequência em Hertz (rotações por segundo), esquecendo a conversão para minutos solicitada no enunciado.

Verdadeira. A aceleração centrípeta dos pontos do pneu é dada por ${\mathrm{a}}_{\mathrm{cp}}={\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R}.$ Logo, ela é menor próxima ao centro de rotação.

[B] Falsa. Se a frequência é constante, o período de rotação é constante.

[C] Falsa. A frequência angular (velocidade angular) é constante em todos os pontos do pneu.

[D] Falsa. Todos os pontos do pneu têm a mesma frequência e o mesmo período.

[E] Falsa. A frequência é constante (o pneu gira 500 vezes a cada minuto).

Essa questão explora o chamado Efeito Estroboscópico da visão onde a percepção do movimento rela é alterada pela taxa de atualização de quadros da visão humana. 

Tempo de atualização: $\mathrm{\Delta t}=\frac{1}{20}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}$

Deslocamento percebido: ${\mathrm{\Delta \theta }}_{\mathrm{ap}}=-\frac{\mathrm{\pi }}{9}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}\mathrm{\hspace{0.17em}}$(sentido contrário do real)

Deslocamento real: ${\mathrm{\Delta \theta }}_{\mathrm{real}}$

Para que o observador tenha a sensação que a roda girou um pouco para trás, o ponto da superfície do pneu deve ter quase completado uma volta inteira (ou múltiplas voltas) e registrada a posição pelos olhos do observador, um pouco antes da posição original.

 ${\mathrm{\Delta \theta }}_{\mathrm{real}}=\mathrm{n}\left(2\mathrm{\pi }\right)-\frac{\mathrm{\pi }}{9}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}=(\frac{18\mathrm{\pi n}}{9}-\frac{\mathrm{\pi }}{9})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}\therefore {\mathrm{\Delta \theta }}_{\mathrm{real}}=\frac{\mathrm{\pi }}{9}(18\mathrm{n}-1)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}\stackrel{\mathrm{\pi }=3}{\to }{\mathrm{\Delta \theta }}_{\mathrm{real}}=\frac{18\mathrm{n}-1}{3}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}$

Velocidade angular $\left(\mathrm{\omega }\right):$ A velocidade angular é dada pela razão entre o deslocamento angular real e o tempo.

$\mathrm{\omega }=\frac{{\mathrm{\Delta \theta }}_{\mathrm{real}}}{\mathrm{\Delta t}}=\frac{\frac{18\mathrm{n}-1}{3}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}}{\frac{1}{20}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}}=\mathrm{\omega }=20\left(\frac{18\mathrm{n}-1}{3}\right)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\therefore \mathrm{\omega }=\left(\frac{360\mathrm{n}-20}{3}\right)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$

Relação com a velocidade linear do veículo (v): Em um movimento sem haver deslizamento, a velocidade linear do carro é null

Raio = 18 cm = $\frac{18}{100}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}=\frac{9}{50}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

Assim, a velocidade do carro pode ser definida estimando o número de voltas n inteiras, desde que não ultrapasse a velocidade limite da via.

Para n = 1: ${\mathrm{v}}_1=\frac{360-20}{3}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot \frac{9}{50}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}=\frac{102}{5}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20,4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\stackrel{\times 3,6}{\to }{\mathrm{v}}_1=73,44\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}/\mathrm{h}$ 

Para n = 2: ${\mathrm{v}}_2=\frac{360\cdot 2-20}{3}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot \frac{9}{50}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}=\frac{210}{5}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}=42\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\stackrel{\times 3,6}{\to }{\mathrm{v}}_2=151,2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}/\mathrm{h}$

Observa-se que para n=2 ultrapassa-se o limite de velocidade da via que é 108 km/h, assim n = 1.

Com isso, finalmente, temos a resposta [D].

Aplicando a expressão da velocidade escalar para o movimento circular uniforme:

$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{\Delta S}}{\mathrm{\Delta t}}=\frac{2\mathrm{\pi r}}{\mathrm{T}}=\frac{2\cdot 3\cdot 1,848\times {10}^6}{7.200}\therefore \mathrm{v}=1.540 \mathrm{m}/\mathrm{s} .$

Análise das afirmativas. 

[I] Verdadeira. O módulo da aceleração centrípeta é dado por:

 ${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}=\frac{{\mathrm{v}}^2}{\mathrm{R}}=\frac{{(72\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot \frac{1\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3,6\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}/\mathrm{h}})}^2}{100\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}}=\frac{{(20\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s})}^2}{100\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}}\therefore {\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}=4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

[II] Verdadeira. Como o nome diz, a aceleração centrípeta aponta para o centro da curva na direção radial.

[III] Falsa. O vetor deslocamento de uma volta completa é igual a zero, pois a soma dos vetores deslocamento em cada ponto da trajetória circular se anulam par a par devido a presença de vetores de mesma direção, mesmo módulo mas sentidos contrários em uma volta completa no círculo.

[IV] Verdadeira. A força de atrito entre os pneus e o asfalto corresponde à força resultante centrípeta no movimento circular uniforme permitindo que o carro se mantenha na curva.

[V] Falsa. O período do movimento é obtido pela expressão da velocidade linear.

$\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{\pi R}}{\mathrm{T}}\Rightarrow \mathrm{T}=\frac{2\mathrm{\pi R}}{\mathrm{v}}=\frac{2\mathrm{\pi }\cdot 100\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}}{20\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}}\therefore \mathrm{T}=10\mathrm{\pi }\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}$

Raio de giro do estudante:

$$\cos 16°=\frac{\mathrm{r}}{6400}$$
$$0,9=\frac{\mathrm{r}}{6400}$$
$$\mathrm{r}=5760\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}$$

Velocidade linear obtida pelo estudante:

$$\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{\pi r}}{\mathrm{\Delta t}}$$
$$\mathrm{v}=\frac{2\cdot 3\cdot 5760}{24}$$
$$\mathrm{v}=1440\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

As rodas mais externas fazem um deslocamento maior que as rodas internas na curva, pois dependem do raio que é maior. Considerando-se a circunferência realizada por cada tipo de rodado, externo e interno, pode-se determinar a razão entre eles com a expressão.

$\mathrm{\Delta }s=2\pi R$

Rodado externo:

${\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{e}}=2\mathrm{\pi }(4+1,3) \mathrm{m}\therefore {\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{e}}=10,6\mathrm{\pi m}$

Rodado interno:

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{s}}_{\mathrm{i}}=2\mathrm{\pi }4 \mathrm{m}\therefore \mathrm{\Delta }{\mathrm{s}}_{\mathrm{i}}=8\mathrm{\pi } \mathrm{m}$

Razão entre os deslocamentos:

$\frac{\mathrm{\Delta }{\mathrm{s}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{\Delta }{\mathrm{s}}_{\mathrm{i}}}=\frac{10,6\mathrm{\pi m}}{8\mathrm{\pi m}}\therefore \frac{\mathrm{\Delta }{\mathrm{s}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{\Delta }{\mathrm{s}}_{\mathrm{i}}}=1,325$

_{Esta razão representa um aumento de 32,5% a mais no deslocamento do rodado externo em relação ao rodado interno.}

Considerando 1 salto a cada volta, são 105 voltas (n) em 30 s $\left(\mathrm{\Delta }t\right)$. Assim:

$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{\Delta S}}{\mathrm{\Delta t}}=\frac{\mathrm{n}\left(2\mathrm{\pi R}\right)}{\mathrm{\Delta t}}=\frac{105\cdot 2\cdot 3\cdot 0,9}{30}\Rightarrow \mathrm{v}=18,9 \mathrm{m}/\mathrm{s}$