Exercícios de Movimento Circular com resolução comentada

Como o morador está em repouso em relação ao solo, ele acompanha o movimento de rotação da Terra. Assim, em relação ao eixo terrestre, ele descreve um movimento circular uniforme. A aceleração associada a esse movimento é a aceleração centrípeta, que aponta para o centro da circunferência descrita pelo morador no plano de rotação que passa por sua posição.

O plano de rotação de Oslo é paralelo ao plano do Equador, conforme representado na figura:

A força gravitacional que atua sobre o morador, isto é, seu peso, aponta para o centro da Terra. Já a aceleração centrípeta aponta para o centro do plano de rotação do morador, localizado sobre o eixo de rotação terrestre. Portanto, essas duas direções não coincidem em Oslo.

A latitude de um ponto é o ângulo entre a direção que liga esse ponto ao centro da Terra e o plano do Equador. Como o plano de rotação de Oslo é paralelo ao plano do Equador, o ângulo entre a aceleração centrípeta e a força gravitacional é igual ao ângulo correspondente à latitude do local. Em termos geométricos, esses ângulos são alternos internos formados por planos paralelos e, por isso, possuem a mesma medida.

Oslo está situada a 60° de latitude norte. Logo, o ângulo procurado mede 60°.

A alternativa A está incorreta porque a esfera realiza um movimento uniforme, o que implica que sua aceleração escalar é nula em todos os pontos da trajetória.

Quanto à opção B, ela é falsa, visto que em uma trajetória circular a direção do vetor velocidade muda continuamente conforme o objeto se desloca.

A afirmação C também é improcedente, pois a aceleração centrípeta aponta sempre para o centro da curva, alterando sua orientação espacial ao longo do percurso.

Da mesma forma, a alternativa D está errada, uma vez que a direção da força resultante varia conforme a posição da esfera na circunferência.

Por fim, a opção E é a correta, pois, embora a direção mude, o módulo da força centrípeta necessária para manter o movimento circular uniforme permanece constante em todas as posições analisadas.

Para determinar o número de rotações das rodinhas, relacionamos a velocidade de translação do skate com o movimento de rotação de cada roda. Como o skate se desloca sem que as rodas escorreguem em relação ao solo, cada volta completa da roda faz com que o skate avance uma distância igual ao comprimento da circunferência da roda.

O raio informado é de 3 cm. Como a velocidade está expressa em metros por segundo, é necessário converter o raio para metros:

3 cm = 0,03 m

O comprimento da circunferência da roda é calculado pela expressão C = 2πr, em que r representa o raio. Utilizando π = 3 e r = 0,03 m:

\[\pi = 3 :\] \[C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot 0.03 = 0.18 \text{m}\]

Assim, a cada rotação completa, uma rodinha percorre 0,18 m. A velocidade linear do skate, portanto, corresponde à velocidade tangencial da borda da roda. Se f é a frequência de rotação, isto é, o número de rotações realizadas por segundo, a distância percorrida em um segundo é dada pelo comprimento de uma volta multiplicado pelo número de voltas nesse segundo:

\[v = C \cdot f\]

Substituindo a velocidade do skate, v = 4,5 m/s, e o comprimento da circunferência, C = 0,18 m:

\[4.5 = 0.18 \cdot f\]

Para isolar a frequência, dividimos os dois lados da igualdade por 0,18 m. O resultado indica quantas rotações são realizadas a cada segundo:

\(f = \frac{4.5}{0.18} = 25 \text{Hz}\) (rotações por segundo).

Entretanto, a questão solicita a frequência em rotações por minuto, e não em rotações por segundo. Como um minuto possui 60 segundos, multiplicamos a frequência por 60:

\[25 \cdot 60 = 1500 \text{rpm}\]

Logo, as rodinhas giram a 1500 rotações por minuto. Portanto, a alternativa correta é B) 1500 rpm.

Análise das alternativas:

[B] Correta. O comprimento de uma volta da roda é 0,18 m. Com velocidade de 4,5 m/s, a roda realiza 25 rotações por segundo. A conversão para minutos resulta em 1500 rpm.

[A], [C] e [E] Incorretas. Esses valores não correspondem ao resultado obtido a partir do comprimento correto da circunferência e da conversão adequada de rotações por segundo para rotações por minuto.

[D] Incorreta. O valor de 25 corresponde à frequência em hertz, ou seja, a 25 rotações por segundo. Como o enunciado solicita rotações por minuto, ainda é necessário multiplicar esse valor por 60.

Alternativa A — correta. Como o pneu gira como um corpo rígido, todos os seus pontos completam uma volta no mesmo intervalo de tempo. Portanto, a velocidade angular, a frequência de rotação e o período são iguais para todos os pontos do pneu. O que varia de um ponto para outro é a distância até o centro de rotação, representada por R.

A aceleração centrípeta é a aceleração responsável por manter um ponto em movimento circular. Ela é determinada pela expressão:

\[a_{\text{cp}} = \omega^{2} R .\]

Nessa relação, a_cp representa a aceleração centrípeta, ω é a frequência angular e R é a distância do ponto ao centro de rotação. Como todos os pontos possuem a mesma frequência angular, a aceleração centrípeta varia apenas com o raio: quanto menor for a distância ao centro, menor será a aceleração centrípeta. Assim, a aceleração centrípeta é menor nos pontos mais próximos do centro de rotação, tornando a alternativa A verdadeira.

Alternativa B — falsa. O pneu gira a 500 rotações por minuto, isto é, sua frequência de rotação é constante enquanto não houver alteração no movimento. O período é o tempo necessário para completar uma rotação e, portanto, também permanece constante. Ele não aumenta 500 vezes a cada minuto.

Alternativa C — falsa. Em um corpo rígido, todos os pontos realizam uma volta completa no mesmo intervalo de tempo. Por isso, a frequência angular é a mesma em todos os pontos do pneu. Os pontos mais afastados do centro possuem maior velocidade linear, mas não maior frequência angular.

Alternativa D — falsa. O período corresponde ao tempo gasto para realizar uma volta completa. Como todos os pontos do pneu completam uma volta simultaneamente, todos apresentam o mesmo período, independentemente da distância ao centro de rotação.

Alternativa E — falsa. A frequência indica o número de rotações realizadas por unidade de tempo. O valor de 500 r.p.m. significa que o pneu realiza 500 rotações em cada minuto. Esse valor é constante para os pontos do pneu; portanto, a frequência não aumenta 500 vezes a cada minuto.

Conclui-se que somente a aceleração centrípeta varia com a distância ao centro de rotação. Como ela é proporcional ao raio e a frequência angular é igual para todos os pontos, seu valor é menor próximo ao centro. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

Essa questão explora o efeito estroboscópico, fenômeno em que um movimento contínuo é observado em instantes discretos. Como a visão atualiza as imagens aproximadamente a cada intervalo de tempo fixo, a posição angular observada pode dar a impressão de que a roda está parada, gira lentamente ou até gira no sentido oposto ao real.

O intervalo entre duas atualizações sucessivas da imagem é

\[Δt = \frac{1}{20} \text{s}\]

Isso significa que o observador compara a posição da roda em dois instantes separados por \(\frac{1}{20} \text{s}\). Nesse intervalo, o deslocamento angular aparente informado no enunciado é

\[Δθ_{\text{ap}} = – \frac{\pi}{9} \text{rad}\]

O sinal negativo indica que o deslocamento percebido ocorre no sentido contrário ao movimento real da roda.

O deslocamento angular real é representado por

\[Δθ_{\text{real}}\]

Para que a roda pareça ter girado para trás, o ponto observado da superfície do pneu deve ter completado uma ou mais voltas inteiras e, depois disso, estar deslocado angularmente de \(\frac{\pi}{9} \text{rad}\) antes de retornar à posição angular equivalente à inicial. Se n representa o número inteiro de voltas completas, o deslocamento angular real é

\[Δθ_{\text{real}} = n \left(2 \pi\right) – \frac{\pi}{9} \text{rad} = \left(\frac{18 πn}{9} – \frac{\pi}{9}\right) rad\]

Colocando \(\pi = 3\), conforme determinado no enunciado, obtém-se

\[Δθ_{\text{real}} = \frac{\pi}{9} \left(18 n – 1\right) rad \overset{\pi = 3}{\rightarrow} Δθ_{\text{real}} = \frac{18 n – 1}{3} \text{rad}\]

A velocidade angular é a razão entre o deslocamento angular real e o intervalo de tempo correspondente:

\[\left(\omega\right) :\] \[\omega = \frac{Δθ_{\text{real}}}{Δt} = \frac{\frac{18 n – 1}{3} \text{rad}}{\frac{1}{20} \text{s}} = \omega = 20 \left(\frac{18 n – 1}{3}\right) rad / \text{s}\]

Reescrevendo a mesma expressão, chega-se a

\[\omega = \left(\frac{360 n – 20}{3}\right) rad / \text{s}\]

Como o pneu rola sem deslizar, a velocidade linear do veículo é igual ao produto entre a velocidade angular da roda e seu raio. Essa relação é \(v = \omega R\). O raio do pneu deve ser convertido de centímetros para metros:

Raio = 18 cm = \(\frac{18}{100} \text{m} = \frac{9}{50} \text{m}\)

Portanto, é necessário testar os possíveis valores inteiros de n, verificando também se a velocidade obtida não ultrapassa o limite de 108 km/h da via.

Para n = 1, a velocidade angular é substituída na relação \(v = \omega R\), resultando em

\[v_{1} = \frac{360 – 20}{3} \text{rad} / \text{s} \cdot \frac{9}{50} \text{m} = \frac{102}{5} \text{m} / \text{s} = 20.4 \text{m} / \text{s} \overset{\times 3.6}{\rightarrow} v_{1} = 73.44 \text{km} / \text{h}\]

Para converter de m/s para km/h, multiplica-se o valor por 3,6. Assim, para uma volta completa adicional, a velocidade é 73,44 km/h, valor que respeita o limite da via.

Para n = 2, obtém-se

\[v_{2} = \frac{360 \cdot 2 – 20}{3} \text{rad} / \text{s} \cdot \frac{9}{50} \text{m} = \frac{210}{5} \text{m} / \text{s} = 42 \text{m} / \text{s} \overset{\times 3.6}{\rightarrow} v_{2} = 151.2 \text{km} / \text{h}\]

Esse segundo valor é maior que o limite de 108 km/h. Portanto, n = 2 não pode representar a situação descrita. O primeiro valor admissível é o obtido para n = 1.

Logo, a velocidade do veículo é 73,44 km/h, correspondente à alternativa D.

Em um movimento circular uniforme, a sonda percorre, a cada volta completa, o comprimento da circunferência de sua órbita. Esse comprimento é dado por 2πr, em que r é o raio da órbita. Como a velocidade escalar média permanece constante nesse movimento, ela pode ser calculada pela razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo correspondente:

O período fornecido está em horas, mas o resultado deve ser expresso em metros por segundo. Portanto, é necessário converter T = 2,0 h para segundos:

\[T = 2.0 \times 3600 = 7200 = 7.200 \text{s}\]

Assim, a velocidade escalar é obtida dividindo o comprimento de uma volta pelo período dessa volta:

Aplicando a expressão da velocidade escalar para o movimento circular uniforme:

\[v = \frac{ΔS}{Δt} = \frac{2 πr}{T} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 1.848 \times 10^{6}}{7.200}\] \[v = 1.540 \text{m} / \text{s} .\]

No numerador, calcula-se a distância percorrida em uma volta: 2 · 3 · 1,848 × 10⁶ metros. Em seguida, divide-se essa distância pelo período de 7.200 s. O resultado é a velocidade escalar da sonda em relação ao centro da Lua, expressa em metros por segundo.

Logo, a alternativa correta é b) 1540 m/s.

Análise das afirmativas

[I] Verdadeira. Para o movimento circular uniforme, o módulo da aceleração centrípeta é calculado pela razão entre o quadrado da velocidade linear e o raio da trajetória:

Antes de realizar o cálculo, é necessário converter a velocidade de quilômetros por hora para metros por segundo, pois o raio está expresso em metros. Utiliza-se a relação 1 m/s = 3,6 km/h. Portanto, 72 km/h correspondem a 20 m/s. Assim:

 \(a_{c} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{\left(72 \text{km} / \text{h} \cdot \frac{1 \text{m} / \text{s}}{3.6 \text{km} / \text{h}}\right)^{2}}{100 \text{m}} = \frac{\left(20 \text{m} / \text{s}\right)^{2}}{100 \text{m}}\)\[a_{c} = 4 \text{m} / s^{2}\]

Na substituição, v representa a velocidade do carro, em metros por segundo, e R representa o raio da rotatória, em metros. Como 20² = 400 e 400/100 = 4, o módulo da aceleração centrípeta é 4 m/s². Portanto, a proposição I é verdadeira.

[II] Verdadeira. A aceleração centrípeta é a aceleração responsável por alterar continuamente a direção do vetor velocidade, mantendo o carro na trajetória circular. Sua direção é radial, isto é, está sobre uma linha que liga o carro ao centro da rotatória. Seu sentido aponta sempre do carro para o centro da circunferência. Portanto, a proposição II é verdadeira.

[III] Falsa. O deslocamento é uma grandeza vetorial que depende apenas da posição inicial e da posição final, e não do comprimento do caminho percorrido. Ao completar uma volta inteira, o carro retorna ao mesmo ponto em que iniciou o movimento. Dessa forma, a posição final coincide com a posição inicial, e o vetor deslocamento resultante é nulo.

Os 200 metros correspondem ao diâmetro da rotatória, calculado por 2R, mas esse valor não representa o deslocamento após uma volta completa. Assim, a magnitude do deslocamento é 0 m, e não 200 m. Portanto, a proposição III é falsa.

[IV] Verdadeira. Para que o carro acompanhe a trajetória circular, deve existir uma força resultante dirigida para o centro da rotatória. Essa resultante é denominada força centrípeta. Em uma pista horizontal, sem considerar outras forças horizontais, a força de atrito entre os pneus e o asfalto fornece justamente essa força dirigida radialmente para o centro da curva.

O atrito impede que os pneus simplesmente deslizem para fora da curva e permite a mudança contínua da direção do movimento. Portanto, a proposição IV é verdadeira.

[V] Falsa. O período T é o tempo necessário para completar uma volta. Em uma volta, o carro percorre o comprimento da circunferência, dado por 2πR. Como a velocidade linear é a razão entre a distância percorrida e o tempo, temos:

\[v = \frac{2 πR}{T}\] \[T = \frac{2 πR}{v} = \frac{2 \pi \cdot 100 \text{m}}{20 \text{m} / \text{s}}\] \[T = 10 \pi s \approx 31.4 \text{s}\]

O resultado mostra que o período é 10π s, aproximadamente 31,4 s, e não 10 s. Portanto, a proposição V é falsa.

As proposições verdadeiras são I, II e IV. Logo, a alternativa correta é b) Somente as proposições I, II e IV são verdadeiras.

Para determinar a velocidade linear de rotação da Terra na latitude de Brasília, é necessário compreender primeiro o trajeto circular descrito por um ponto fixo na superfície terrestre durante uma volta completa. A Terra gira em torno do seu eixo polar, fazendo com que cada localidade traçe uma circunferência paralela ao equador. O raio dessa trajetória circular não corresponde ao raio total do planeta, mas sim à projeção horizontal dele, a qual varia conforme a latitude. Considerando o modelo esférico da Terra com raio aproximado de 6400 quilômetros, a geometria do problema estabelece uma relação trigonométrica direta entre a latitude informada e o raio efetivo de giro.

\[cos 16 \circ = \frac{r}{6400}\] \[0.9 = \frac{r}{6400}\] \[r = 5760 km\]

O enunciado fornece o valor numérico aproximado para essa razão trigonométrica, permitindo a substituição direta na expressão anterior. Ao inserir 0,9 no lugar do cosseno, isolamos a incógnita multiplicando ambos os lados da igualdade pelo raio terrestre de referência.

\[v = \frac{2 πr}{Δt}\] \[v = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5760}{24}\] \[v = 1440 km / \text{h}\]

Dessa forma, a análise geométrica e cinemática confirma que a velocidade linear estimada pelo estudante corresponde exatamente à alternativa C, validando o procedimento utilizado para compensar o movimento de rotação terrestre com o suporte de guiagem.

As rodas externas percorrem uma distância maior do que as rodas internas durante a curva, porque estão associadas a uma trajetória de raio maior. Como o veículo realiza uma rotatória, a distância percorrida por cada conjunto de rodas corresponde ao comprimento de uma circunferência.

O comprimento de uma circunferência de raio R é dado por:

\[\Delta s = 2 \pi R\]

Nessa expressão, Δs representa a distância percorrida e R representa o raio da trajetória. O raio das rodas internas é informado como 4 m. Como o eixo tem 1,3 m de largura, a distância entre a trajetória interna e a trajetória externa é de 1,3 m. Portanto, o raio da trajetória externa é:

\[Δs_{e} = 2 \pi \left(4 + 1.3\right) m\] \[Δs_{e} = 10.6 πm\]

Assim, o rodado externo percorre uma circunferência de raio 5,3 m, cujo comprimento é 10,6π m.

Para as rodas internas, o raio da trajetória é 4 m. Logo:

\[\Delta s_{i} = 2 \pi 4 \text{m}\] \[\Delta s_{i} = 8 \pi m\]

Portanto, o rodado interno percorre uma distância de 8π m. Para comparar as distâncias percorridas pelos dois rodados, calculamos a razão entre o deslocamento externo e o deslocamento interno:

\[\frac{\Delta s_{e}}{\Delta s_{i}} = \frac{10.6 πm}{8 πm}\] \[\frac{\Delta s_{e}}{\Delta s_{i}} = 1.325\]

Nessa divisão, o fator π e a unidade metro aparecem tanto no numerador quanto no denominador e, por isso, são cancelados. O resultado 1,325 significa que o deslocamento das rodas externas corresponde a 1,325 vezes o deslocamento das rodas internas.

Para transformar essa razão em aumento percentual, subtraímos 1, que representa 100% do deslocamento interno, e multiplicamos o resultado por 100:

\[\left(1.325 – 1\right) \times 100 \% = 32.5 \%\]

Como as rodas têm o mesmo diâmetro, cada giro corresponde ao mesmo comprimento de circunferência da roda. Consequentemente, a quantidade de giros é proporcional à distância percorrida: se a roda externa percorre 32,5% a mais de distância, ela também realiza 32,5% a mais de giros. A velocidade escalar constante e o diâmetro das rodas não alteram essa comparação, pois são iguais para os dois rodados.

Conclusão: as rodas externas irão girar aproximadamente 32% a mais que as rodas internas. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Como cada salto corresponde a uma volta completa da corda, o ponto considerado realiza 105 voltas durante o intervalo de 30 s. Portanto, a distância total percorrida por esse ponto é igual ao número de voltas multiplicado pelo comprimento de uma circunferência.

O comprimento de uma volta completa é dado por 2πR. O raio informado é 90 cm, que deve ser convertido para metros: 90 cm = 0,9 m. O intervalo de tempo é 30 s. Assim:

Considerando 1 salto a cada volta, são 105 voltas (n) em 30 s \(\left(\Delta t\right)\). A distância total percorrida, portanto, é 105 vezes o comprimento de uma circunferência de raio 0,9 m.

\[v = \frac{ΔS}{Δt} = \frac{n \left(2 πR\right)}{Δt} = \frac{105 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0.9}{30}\]

Nessa expressão, ΔS representa a distância total percorrida, Δt é o intervalo de tempo, n é o número de voltas e 2πR corresponde ao comprimento de cada volta. Usando o valor fornecido para π, isto é, π = 3, obtém-se:

\[v = 18.9 \text{m} / \text{s}\]

A unidade m/s resulta da divisão da distância, medida em metros, pelo tempo, medido em segundos. Logo, a velocidade escalar do ponto da corda é 18,9 m/s, correspondendo à alternativa c.