Exercícios de Lançamento Oblíquo com resolução comentada

Considerando que os pontos A e C estão situados na mesma altura, as velocidades nesses locais apresentam o mesmo módulo. Ao atingir o ponto B, que representa o ápice da trajetória, a velocidade vertical se anula, resultando no valor mínimo para o módulo da velocidade, enquanto a aceleração permanece não nula devido à atuação constante da gravidade.

Durante todo o percurso do lançamento, a componente horizontal da velocidade não sofre alterações, mantendo-se constante. Por fim, no ponto C, assim como em qualquer outro momento do deslocamento, o vetor aceleração direciona-se para baixo.

Como o arqueiro se desloca horizontalmente com velocidade constante, a flecha possui, em relação ao solo, uma componente horizontal resultante da soma de duas velocidades: a velocidade horizontal do arqueiro e a componente horizontal da velocidade da flecha em relação ao arqueiro. No entanto, o tempo de voo depende apenas do movimento vertical, pois a velocidade horizontal não interfere na ação da gravidade.

Tempo até a flecha atingir a altura máxima:

Na altura máxima, a componente vertical da velocidade da flecha torna-se nula. Considerando o sentido vertical para cima como positivo, a aceleração vertical é igual a \[- g\]. Assim, aplica-se a equação da velocidade do movimento uniformemente variado:

\[v_{y} = v_{0_{y}} + at\]

A velocidade inicial vertical é a componente vertical da velocidade de lançamento relativa ao arqueiro. Como a flecha é lançada com velocidade de 18,0 m/s e ângulo de 45° acima da horizontal, essa componente é \[v_{0} sen 45 \circ\]. No ponto mais alto, \[v_{y} = 0\]. Portanto:

\[0 = v_{0} sen 45 \circ – gt_{\text{sub}}\]

Isolando o tempo e utilizando \(sen 45 \circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), obtém-se:

\[t_{\text{sub}} = \frac{18 \cdot \left(\sqrt{2}\right)/2}{10}\]

A substituição de \(g\) por 10 m/s² e de \(sen 45 \circ\) por \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) leva a:

\[t_{\text{sub}} = \frac{9 \sqrt{2}}{10} \text{s}\]

Tempo total de voo:

Como a flecha parte e retorna ao mesmo nível do solo, o movimento vertical é simétrico: o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Por isso, o tempo total de voo é o dobro do tempo necessário para atingir a altura máxima:

\[\text{t}_{\text{total}} = 2 t_{\text{sub}} = \frac{9 \sqrt{2}}{5} \text{s}\]

Alcance horizontal da flecha:

Para determinar o alcance em relação ao solo, é necessário considerar a velocidade horizontal da flecha nesse referencial. A velocidade horizontal do arqueiro é 9√(2) m/s. Além disso, a flecha possui, em relação ao arqueiro, uma componente horizontal igual a \(v_{0} cos 45 \circ\). Como essa componente tem a mesma direção e o mesmo sentido do movimento do arqueiro, as duas velocidades são somadas:

\[A = \left(v_{x} + v_{0} cos 45 \circ\right) \cdot t_{\text{total}}\]

Substituindo a velocidade horizontal do arqueiro, a velocidade de lançamento da flecha em relação ao arqueiro, o valor de \(cos 45 \circ\) e o tempo total de voo:

\[A = \left(9 \sqrt{2} + 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{9 \sqrt{2}}{5} = \frac{36 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{9 \sqrt{2}}{5}\]

Na primeira parcela, a soma das velocidades horizontais resulta em \(\frac{36 \sqrt{2}}{2}\). Multiplicando essa velocidade pelo tempo total de voo, obtém-se o deslocamento horizontal da flecha em relação ao solo:

\[A = 64.8 \text{m}\]

Logo, o alcance horizontal da flecha em relação ao solo é 64,8 m. Portanto, a alternativa correta é b) 64,8 m.

Determinação da altura máxima h

O corpo A é lançado com velocidade inicial de 100 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal. Para analisar a altura máxima, consideramos apenas a componente vertical da velocidade inicial. Essa componente é dada por v_0y sen 30°. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é igual a zero, pois o corpo deixa de subir e passa a descer.

A relação de Torricelli para o movimento vertical é:

\[\left(v_{y}\right)^{2} = \left(v_{0 y} sen 30 \circ\right)^{2} – 2 gh\]

Nessa expressão, v_y é a velocidade vertical na altura considerada, v_0y é a velocidade vertical inicial, g é a aceleração da gravidade e h é a altura máxima. Como a velocidade vertical no ponto mais alto é zero, substituímos v_y por zero. Além disso, sen 30° = 1/2:

\[0 = \left(100 \cdot \frac{1}{2}\right)^{2} – 2 \cdot 10 \cdot h\]

A componente vertical inicial vale, portanto, 50 m/s. Isolando h na equação, obtemos:

\[h = 125 \text{m}\]

Assim, a altura máxima atingida pelo corpo A é 125 m.

Determinação do tempo de movimento dos corpos

O tempo de subida do corpo A pode ser encontrado pela equação da velocidade vertical. No instante em que o corpo atinge a altura máxima, sua velocidade vertical é zero:

\[v_{y} = v_{0 y} sen 30 \circ – gt_{s}\]

Substituindo a velocidade inicial de 100 m/s, a componente vertical correspondente a 50 m/s e a aceleração da gravidade de 10 m/s²:

\[0 = 100 \cdot \frac{1}{2} – 10 t_{s}\]

Resolvendo essa igualdade, encontramos o tempo de subida:

\[t_{s} = 5 \text{s}\]

Como o corpo A retorna ao solo na mesma altura em que foi lançado, o movimento vertical é simétrico: o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Logo, o tempo total de voo é o dobro do tempo de subida:

\[t_{t} = 2 t_{s} = 10 \text{s}\]

Portanto, os dois corpos permanecem em movimento durante 10 s até atingirem simultaneamente o ponto Y.

Determinação da altura H

O enunciado informa que a altura H, de onde o corpo B é lançado verticalmente para baixo, é cinco vezes a altura máxima h do corpo A. Portanto:

H = 5h = 625 m 

Assim, o corpo B inicia seu movimento a 625 m de altura em relação ao solo.

Determinação da velocidade inicial do corpo B

Adotando como sentido positivo o sentido para baixo, o corpo B percorre a distância H em um tempo total de 10 s. Como ele é lançado verticalmente para baixo, sua velocidade inicial v_0B contribui para o deslocamento, assim como a aceleração da gravidade. A equação horária do movimento uniformemente variado é:

\[H = v_{0 B} t + \frac{\left(gt_{t}\right)^{2}}{2}\]

Substituímos H = 625 m, o tempo total t_t = 10 s e g = 10 m/s²:

\[625 = v_{0 B} \cdot 10 + \frac{10 \cdot 10^{2}}{2}\]

O segundo termo representa o deslocamento produzido exclusivamente pela gravidade durante os 10 s. Simplificando esse termo:

\[625 = 10 v_{0 B} + 500\]

Subtraindo 500 m dos dois lados, resulta:

\[v_{0 B} = 12.5 \text{m} / \text{s}\]

Logo, o corpo B deve iniciar o movimento com velocidade de 12,5 m/s dirigida verticalmente para baixo. Portanto, a alternativa correta é c) 12,5.

Para compreender o movimento do fruto, é necessário analisar as características de um lançamento oblíquo sob a influência exclusiva da gravidade. Esse tipo de trajetória é decomposto em dois movimentos independentes que ocorrem simultaneamente: um movimento retilíneo uniforme (MRU) na direção horizontal e um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) na direção vertical, regido pela aceleração da gravidade.

No eixo vertical, o fruto é submetido a uma aceleração constante voltada para baixo. Durante a subida, essa aceleração atua de forma contrária ao sentido do movimento, reduzindo progressivamente a componente vertical da velocidade até que ela se torne nula no ponto mais alto da trajetória. Portanto, no instante exato em que o fruto atinge sua altura máxima, a velocidade vertical é igual a zero.

Por outro lado, no eixo horizontal, não há forças atuando sobre o objeto (desprezando a resistência do ar), o que significa que a componente horizontal da velocidade permanece constante durante todo o percurso. Assim, mesmo quando a velocidade vertical desaparece no topo da parábola, o fruto ainda mantém sua velocidade de deslocamento lateral.

Consequentemente, no ponto de altura máxima, o vetor velocidade resultante é composto exclusivamente pela componente horizontal. Geometricamente, esse vetor deve ser tangente à trajetória parabólica e apontar na mesma direção do movimento horizontal, sem inclinação para cima ou para baixo. Analisando as opções apresentadas no esquema, a seta II é a única que representa um vetor puramente horizontal e tangente ao arco da parábola nesse ponto específico.

Em conclusão, como a componente vertical da velocidade se anula no ápice do lançamento, o vetor resultante coincide com a velocidade constante de translação horizontal, validando a alternativa B como a correta.

O saque representa um lançamento oblíquo, sendo assim, decompõe-se a velocidade inicial nos eixos horizontal (x) e vertical (y), tratando-se as componentes correspondentes com MRU (movimento retilíneo uniforme) no eixo horizontal e LV (lançamento vertical) no eixo vertical.

Transformação de unidade e decomposição ortogonal da velocidade inicial (v₀):

Como seno e cosseno de 45º são iguais, as componentes de também serão iguais:

Intervalo de tempo até a bola chocar-se com a parede:

Cálculo da velocidade no eixo vertical quando a bola se choca com a parede:

Cálculo da velocidade da bola ao tocar a parede:

A velocidade da bola será a soma vetorial das componentes ortogonais no momento que a bola toca a parede, ou seja, como no eixo horizontal temos um movimento uniforme a velocidade é constante, porém no eixo vertical a velocidade varia, pois o movimento é retardado durante a subida da bola e acelerado durante a descida. A soma de vetores ortogonais é obtida com o uso do teorema de Pitágoras.

Após se desprender do avião, a roda passa a realizar um lançamento oblíquo. Como a resistência do ar é desprezada, a única aceleração considerada é a da gravidade, que atua na direção vertical. Portanto, na direção horizontal, a aceleração é nula e a componente horizontal da velocidade permanece constante.

Assim, o movimento horizontal é uniforme. A distância horizontal percorrida, indicada por d, é obtida multiplicando-se a velocidade horizontal pelo intervalo de tempo entre o desprendimento da roda e o instante em que ela toca o solo.

Primeiro, determina-se a componente horizontal da velocidade inicial. Como a velocidade inicial V₀ forma um ângulo θ com a horizontal, utiliza-se a relação trigonométrica do cosseno:

\[v_{0 x} = v_{0} \cdot cos \theta = 70 \text{m} / \text{s} \cdot 0.8\] \[v_{0 x} = 56 \text{m} / \text{s}\]

Isso significa que, durante os 3 segundos de voo, a roda mantém uma velocidade horizontal de 56 m/s. A componente vertical da velocidade e a aceleração da gravidade determinam o tempo de queda, mas, como esse tempo já foi fornecido no enunciado, não é necessário calculá-lo para encontrar a distância horizontal.

Agora, aplica-se a relação do movimento uniforme na direção horizontal:

\[d = v_{0 x} \cdot t = 56 \text{m} / \text{s} \cdot 3 \text{s}\] \[d = 168 \text{m}\]

As unidades também confirmam o resultado, pois o produto de metros por segundo por segundos resulta em metros. Logo, a roda percorre horizontalmente 168 m antes de tocar o solo.

Resposta: alternativa a) 168 m.

Como a bola é lançada e retorna ao solo no mesmo nível, a altura inicial e a altura final são iguais. Além disso, a única aceleração considerada é a da gravidade, dirigida verticalmente para baixo. Por isso, o movimento vertical é simétrico: o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Consequentemente, o tempo total de permanência da bola no ar é o dobro do tempo necessário para atingir a altura máxima.

Assim, o tempo total de voo pode ser escrito como:

\[\text{t}_{\text{tot}} = 2 t_{sub }\]

Para determinar o tempo de subida, é necessário analisar a componente vertical da velocidade inicial. Como o ângulo θ é medido em relação à horizontal, a componente vertical é obtida usando o seno:

\[V_{0 y} = V_{0} \cdot senθ\]

Durante a subida, a velocidade vertical diminui por causa da aceleração gravitacional. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical instantânea é nula. Aplicando a relação entre velocidade inicial, aceleração e tempo, obtém-se:

\[v_{y} = v_{0 y} – g \cdot t_{\text{sub}} \overset{V_{y} = O}{\rightarrow} 0 = v_{0 y} – g \cdot t_{\text{sub}}\] \[t_{\text{sub}} = \frac{v_{0 y}}{g} t_{\text{sub}} = \frac{v_{0} \cdot sen \theta}{g}\]

A primeira igualdade resulta de isolar o tempo de subida na equação da velocidade. Em seguida, substitui-se a componente vertical da velocidade inicial por V₀ sen θ. Portanto, ao dobrar o tempo de subida, o tempo total de voo é:

\[t_{\text{tot}} = \frac{2 V_{0} \cdot senθ}{g}\]

Na direção horizontal, a aceleração é nula, pois a resistência do ar foi desconsiderada e a gravidade atua somente na vertical. Portanto, o movimento horizontal é uniforme, e a distância horizontal é o produto da velocidade horizontal pelo tempo total de voo:

\[\text{x}_{m} = v_{0 x} \cdot t_{ tot }\]

A componente horizontal da velocidade inicial é obtida pela projeção do vetor velocidade sobre o eixo horizontal. Como o ângulo é medido a partir da horizontal, utiliza-se o cosseno:

\[V_{0 x} = V_{0} \cdot cos \theta\]

Substituindo a velocidade horizontal e o tempo total na expressão do alcance, tem-se:

\[x_{m} = v_{0 x} \cdot t_{\text{tot}}\] \[x_{m} = v_{0} \cdot cos \theta \cdot \frac{2 V_{0} \cdot sen \theta}{g} \overset{sen θcos \theta – sen 2 \theta}{\rightarrow}\] \[x_{m} = \frac{v_{0}^{2} \cdot sen 2 \theta}{g}\]

Na simplificação, os dois fatores V₀ multiplicam-se, resultando em V₀². O produto sen θ cos θ é substituído pela identidade fornecida no enunciado, 2 sen θ cos θ = sen 2θ. Dessa forma, a distância horizontal alcançada pela bola é:

Alternativa E: x_m = v₀² sen 2θ / g.

O movimento de cada projétil pode ser analisado separando-se as componentes horizontal e vertical da velocidade. Como a aceleração da gravidade é vertical e dirigida para baixo, ela altera apenas a componente vertical da velocidade. No ponto de altura máxima, a componente vertical da velocidade é nula.

Tempo para que o projétil A chegue à altura máxima:

Para o projétil A, lançado verticalmente para cima, a velocidade inicial é inteiramente vertical. Na altura máxima, sua velocidade vertical passa a ser zero. Usando a relação entre velocidade, aceleração e tempo, temos:

\[0 = v_{A} – \left(g t\right)_{A}\] \[0 = 2.5 – 10 t_{A}\] \[t_{A} = 0.25 \text{s}\]

Assim, o projétil A atinge sua altura máxima após 0,25 s.

Tempo para que o projétil B chegue à altura máxima:

A velocidade inicial do projétil B deve ser decomposta. Sua componente vertical é dada por v_B sen(30°). Na altura máxima, essa componente vertical também é igual a zero. Portanto:

\[0 = v_{B} sen 30^{\circ} – \left(g t\right)_{B}\] \[0 = 5 \cdot 0.5 – 10 t_{B}\] \[t_{B} = 0.25 \text{s}\]

O projétil B também alcança a altura máxima após 0,25 s. Logo, a alternativa a) é incorreta, pois nenhum dos dois chega primeiro: os tempos são iguais.

Altura máxima do projétil A:

Para determinar a altura máxima, considera-se o movimento vertical. Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Como o projétil A é lançado verticalmente, sua velocidade inicial coincide com a velocidade vertical inicial:

\[0 = v_{A}^{2} – 2 \left(g h\right)_{A}\] \[0 = 2 , 5^{2} – 2 \cdot 10 \left( h\right)_{A}\] \[h_{A} = 0.3125 \text{m}\]

Portanto, a altura máxima atingida pelo projétil A é 0,3125 m.

Altura máxima do projétil B:

No caso do projétil B, somente a componente vertical da velocidade inicial contribui para o movimento de subida. Essa componente é v_B sen(30°):

\[0 = v_{B}^{2} sen^{2} 30^{\circ} – 2 \left(g h\right)_{B}\] \[0 = 5^{2} \cdot 0 , 5^{2} – 2 \cdot 10 \left( h\right)_{B}\] \[h_{B} = 0.3125 \text{m}\]

As alturas máximas são iguais. Por isso, a alternativa b) é incorreta.

Alcance horizontal do projétil B:

Como os dois projéteis são lançados e atingem novamente a mesma altura de referência, o alcance horizontal do projétil B pode ser calculado pela expressão do alcance de um lançamento oblíquo. Nessa expressão, v_B é a velocidade inicial, θ_B é o ângulo de lançamento e g é a aceleração da gravidade:

\[A_{B} = \frac{v_{B}^{2} sen \left(2 \cdot 30 \circ\right)}{g}\] \[A_{B} = \frac{5^{2} \cdot \left(\sqrt{3}\right)/2}{10}\] \[A_{B} = \frac{5 \sqrt{3}}{4} \text{m}\]

O alcance horizontal é 5√3/4 m, e não 5√3/2 m. Portanto, a alternativa c) é incorreta.

Velocidade do projétil B na altura máxima:

Na altura máxima, a componente vertical da velocidade do projétil B é nula. Entretanto, sua componente horizontal permanece constante, pois não há aceleração horizontal. Assim, o módulo da velocidade nesse ponto é igual ao módulo da componente horizontal inicial:

\[\left(v_{B}\right)^{'} = \sqrt{v_{B x}^{2} + v_{\text{By}}^{2}} = \sqrt{v_{B}^{2} cos^{2} 30 \circ + 0^{2}}\] \[\left(v_{B}\right)^{'} = \sqrt{5^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\] \[\left(v_{B}\right)^{'} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \text{m} / \text{s}\]

Logo, na altura máxima, o módulo da velocidade do projétil B é 5√3/2 m/s. Portanto, a alternativa d) é correta.

Comparação entre os módulos das velocidades:

As componentes verticais dos projéteis A e B evoluem da mesma maneira, pois ambos estão submetidos à mesma aceleração gravitacional e possuem a mesma componente vertical inicial, igual a 2,5 m/s. Porém, o projétil B possui também uma componente horizontal não nula, que permanece constante durante o voo.

Consequentemente, em qualquer instante correspondente, o módulo da velocidade de B é obtido pela combinação de uma componente vertical e de uma componente horizontal, enquanto A possui apenas a componente vertical. Assim, o projétil A não poderá ter velocidade de módulo maior que a do projétil B.

Portanto, a alternativa e) é incorreta.

Conclusão: a única afirmação correta é a que determina o módulo da velocidade do projétil B em sua altura máxima. Dessa forma, a resposta é a alternativa D.

Como o alcance oficial da MOBFOG corresponde ao segmento AB, de 200 m, e a distância entre o ponto de chegada do foguete e o ponto B corresponde ao segmento BC, de 150 m, os segmentos formam um triângulo retângulo. O deslocamento horizontal efetivo da trajetória, representado por AC ou \(x\), é a hipotenusa desse triângulo.

Aplicando o teorema de Pitágoras, segundo o qual o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, obtém-se:

Pitágoras para calcular o alcance horizontal (X):

\(x^{2} = 200^{2} + 150^{2} = 40000 + 22500\)\[x = 250 \text{m}\]

Assim, o alcance horizontal utilizado no cálculo do movimento do foguete é de 250 m. Como o foguete é lançado e retorna ao mesmo nível, o movimento vertical é simétrico: o tempo total de voo corresponde ao dobro do tempo necessário para atingir a altura máxima.

O tempo de subida é obtido considerando a componente vertical da velocidade inicial, v_0y. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical se torna nula; por isso, o tempo de subida é dado pela razão entre essa componente e a aceleração da gravidade. Logo:

O tempo total é igual ao dobro do tempo de subida.

\(t_{T} = 2 t_{s u b}\)\[t_{T} = 2 \frac{v_{0 y}}{g}\]

Na direção horizontal, desprezando a resistência do ar, não existe aceleração. Portanto, a componente horizontal da velocidade, v_0x, permanece constante durante todo o voo. Dessa forma, o alcance horizontal é o produto dessa componente pelo tempo total de voo:

O alcance horizontal é:

\[x = v_{0 x} t_{T}\] \[x = v_{0 x} \frac{2 v_{0 y}}{g}\] \[x = \left(v_{0} cosθ\right) \left(\frac{2 v_{0} senθ}{g}\right)\] \[x = \frac{v_{0}^{2}}{g} 2 senθ \cdot cosθ\] \[x = \frac{v_{0}^{2}}{g} sen \left(2 \theta\right)\]

Nessas expressões, v₀ é o módulo da velocidade inicial, θ é o ângulo de lançamento, g é a aceleração da gravidade e x é o alcance horizontal. A passagem para a última expressão utiliza a identidade trigonométrica 2 sen θ cos θ = sen(2θ).

O enunciado informa que o ângulo foi escolhido para produzir o alcance máximo. No lançamento oblíquo, isso ocorre para um ângulo de 45°. Portanto, o dobro do ângulo é 90°, e o seno de 90° vale 1. Substituindo o alcance de 250 m e a aceleração da gravidade de 10 m/s²:

Substituindo valores:

\(250 = \frac{v_{0}^{2}}{10} sen 90 \circ\)\[v_{0} = \sqrt{2.500} = 50 \text{m} / \text{s}\] \[v_{0} = 180 \text{km} / \text{h}\]

A conversão de 50 m/s para km/h é feita multiplicando por 3,6, pois 1 m/s corresponde a 3,6 km/h. Assim, a velocidade oblíqua de lançamento foi aproximadamente igual a 180 km/h.

Portanto, a alternativa correta é a letra e) 180 km/h.

O encontro ocorre no instante em que o corpo A termina seu movimento de lançamento e a partícula B completa um número inteiro de voltas, pois a condição dada é θ = 2kπ. Portanto, é necessário determinar primeiro o tempo total de voo de A e, em seguida, compará-lo com o período do movimento circular uniforme de B.

Como o lançamento faz um ângulo de 30° com o eixo-y, a velocidade inicial deve ser decomposta em duas componentes perpendiculares. De acordo com a convenção adotada no enunciado e na resolução, a componente no eixo horizontal y é obtida com o cosseno, enquanto a componente no eixo vertical x é obtida com o seno.

Componente horizontal da velocidade inicial:

A componente horizontal permanece constante, pois não há aceleração nessa direção. Assim, usando cos(30°) = 0,87:

\[v_{0 y} = v_{y} = v_{0} \cdot cos 30^{\circ}\]

Nessa expressão, \(v_{0}\) representa o módulo da velocidade inicial, e \(v_{0 y}\) representa sua componente na direção horizontal. Substituindo o valor fornecido para o cosseno:

\[v_{y} = 0.87 v_{0 } \left(1\right)\]

Componente vertical da velocidade inicial:

A componente vertical é a responsável pela subida e pela descida do corpo A, pois nessa direção atua a aceleração da gravidade. Como sen(30°) = 0,5:

\[v_{0 x} = v_{0} \cdot sen 30^{\circ}\]

Logo, a componente vertical inicial é:

\[v_{0 x} = \frac{v_{0}}{2 } \left(2\right)\]

Na altura máxima da trajetória, a componente vertical da velocidade do corpo A é igual a zero. Aplicando a equação da velocidade no movimento uniformemente variado, com aceleração vertical igual a −g, obtém-se:

\[v_{x} = v_{0 x} – g \cdot t_{\text{sub}} \overset{v_{x} = 0}{\rightarrow} 0 = v_{0 x} – g \cdot t_{\text{sub}}\]

Isolando o tempo de subida, a relação fornecida na resolução é:

\[t_{\text{sub}} = \rightarrow_{g}^{v_{0 x \left(2\right)} } t_{\text{sub}} = \frac{v_{0}}{2 \text{g} }\]

O movimento é simétrico em relação ao ponto de altura máxima: o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Dessa forma, o tempo total de voo é o dobro do tempo de subida:

\[t_{\text{tot}} = 2 t_{\text{sub}} = 2 \frac{v_{0}}{2 \text{g}}\]

Portanto:

\[t_{\text{tot}} = \frac{v_{0}}{g} = \frac{v_{0}}{10} \left(3\right)\]

Para determinar \(v_{0}\), utiliza-se o alcance horizontal indicado na resolução. A distância percorrida pelo corpo A até o ponto de encontro corresponde à soma dos 100 m até o centro do movimento circular com o raio da trajetória da partícula B, que vale 2,017 m. Assim, o alcance considerado é:

\[y_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = 102.017 \text{m}\]

Na direção horizontal, o movimento é uniforme. Portanto, o deslocamento horizontal é igual ao produto da velocidade horizontal pelo tempo total de voo:

\[y_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = v_{y} \cdot t_{\text{tot}}\]

Substituindo a componente horizontal, o tempo total de voo e a aceleração da gravidade:

\[102.017 = 0.87 v_{0} \cdot \frac{v_{0}}{10}\]

Essa igualdade permite determinar o quadrado da velocidade inicial:

\[v_{0}^{2} = 1172.61\]

Extraindo a raiz quadrada, obtém-se:

\[v_{0} = 34.24 \text{m} / \text{s}\]

Substituindo esse valor na expressão do tempo total de voo:

\[t_{\text{tot}} = \frac{v_{0}}{10} = \frac{34.24}{10}\]

Assim, o corpo A permanece em voo durante:

\[t_{\text{tot}} = 3.424 \text{s}\]

Agora, determina-se o período do movimento circular uniforme da partícula B. O período T é o tempo necessário para completar uma volta, e relaciona-se com a velocidade angular pela expressão:

\[T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 πrad}{200 \text{rad} / \text{s}}\]

Como uma volta corresponde a um deslocamento angular de 2π radianos e a velocidade angular é 200 rad/s, o período é:

\[T = \frac{\pi}{100} \text{s} \approx 0.0314 \text{s}\]

O número de voltas realizadas pela partícula B até o encontro é obtido dividindo-se o tempo total disponível pelo período de uma volta:

\[n^{\circ} voltas = \frac{t_{ tot}}{T} = \frac{3.424 \text{s}}{0.0314 \text{s}}\]

Efetuando a divisão:

\[n o voltas = 109\]

Logo, no instante do encontro, a partícula B terá completado 109 voltas. Esse número é maior que 100 e menor que 110.

Resposta: alternativa b) mais de 100 e menos de 110 voltas.