Exercícios de Densidade e Massa Específica com resolução comentada

A capacidade de um corpo subir à superfície e realizar o processo de emersão está diretamente ligada ao contraste entre a densidade do objeto e a densidade do fluido onde ele se encontra.

Portanto, a grandeza física que determina esse fenômeno é a densidade, validando a alternativa C.

O peso do cubo no ar é representado por P. Como o cubo tem aresta de 10 cm, seu volume é constante e, ao ser totalmente mergulhado, ele desloca um volume de líquido igual ao próprio volume. A densidade do material do cubo é dada pela razão entre sua massa e seu volume. Como o peso é dado por P = mg, a massa pode ser escrita como m = P/g. Portanto:

\[d_{m} = \frac{m_{\text{cubo}}}{V_{\text{cubo}}} = \frac{P}{V_{\text{cubo}} g}\]
\[P = 10^{3} d_{\text{mg}} g\]

Nessa expressão, d_m é a densidade do material do cubo, V_cubo é o volume do cubo e g é a aceleração da gravidade. O fator 10³ corresponde ao volume do cubo quando as grandezas são expressas em unidades compatíveis.

Quando o cubo está totalmente imerso no líquido, atuam sobre ele o peso, dirigido para baixo, e o empuxo, dirigido para cima. O peso aparente corresponde à força resultante entre essas duas forças. Como o enunciado informa que o peso aparente é igual a 0,5 do peso original, podemos escrever:

\[P – E = 0.5 P\]
\[\cancel{10^{3}} d_{m} \cancel{g} – d_{L} \cdot \cancel{10^{3}} \cdot \cancel{g} = 0.5 \cdot \cancel{10^{3}} d_{m} \cancel{g}\]
\[d_{m} – d_{L} = 0.5 d_{m}\]
\[0.5 d_{m} = d_{L}\]
\[\frac{d_{m}}{d_{L}} = 2\]

O empuxo utilizado nessa resolução é o empuxo de Arquimedes, cujo módulo é igual ao peso do líquido deslocado. Como o cubo está completamente mergulhado, o volume de líquido deslocado é igual ao volume do cubo. Por isso, os fatores associados ao volume e à gravidade aparecem tanto no peso quanto no empuxo e podem ser cancelados nas etapas algébricas apresentadas.

Assim, a relação entre a densidade do material do cubo e a densidade do líquido é:

d_m/d_L = 2

Logo, a alternativa correta é c) 2.

A análise das propriedades físico-químicas da água permite compreender fenômenos biológicos essenciais descritos no enunciado. Para o primeiro evento, observa-se que a água apresenta um comportamento anômalo de densidade: ao contrário da maioria das substâncias, que se tornam mais densas ao congelar, a água sólida é menos densa que a sua forma líquida. Esse fenômeno ocorre devido à organização das moléculas em uma estrutura hexagonal durante a solidificação, o que aumenta o volume ocupado e reduz a massa por unidade de volume. Como resultado, o gelo flutua, criando uma camada isolante na superfície de lagos e oceanos que impede o congelamento total do corpo d’água, preservando a vida nas camadas subjacentes.

No segundo caso, a propriedade envolvida é a elevada tensão superficial. Esse fenômeno decorre da forte coesão entre as moléculas de água, mediada pelas ligações de hidrogênio, que cria uma espécie de membrana elástica na interface entre o líquido e o ar. Essa força de atração intermolecular dificulta a penetração de gases, como o oxigênio, através das camadas líquidas, o que pode comprometer as trocas gasosas nos alvéolos pulmonares em determinados contextos biológicos.

Por fim, o terceiro evento relaciona-se à baixa viscosidade da água. A viscosidade é a medida da resistência de um fluido ao escoamento; por possuir uma viscosidade reduzida, a água flui com facilidade, o que otimiza os processos de circulação sanguínea, as trocas hídricas entre tecidos e capilares, além de facilitar mecanismos hemodinâmicos como a filtração renal e a osmose.

Sob uma perspectiva química mais profunda, a baixa densidade do gelo é reforçada em ambientes naturais pelo efeito coligativo: em oceanos ou lagos, a presença de sais dissolvidos reduz o ponto de congelamento da água conforme a profundidade aumenta, auxiliando na manutenção do estado líquido abaixo da camada superficial. A tensão superficial mencionada é uma consequência direta da polaridade das moléculas de H₂O e da formação de pontes de hidrogênio entre os grupos hidroxila (OH), o que gera essa resistência à penetração. Além disso, a baixa viscosidade combinada com a alta capacidade de solubilizar íons e substâncias polares torna a água um solvente ideal para sustentar o transporte de nutrientes e gases no organismo.

A sequência correta que descreve a baixa densidade do sólido em relação ao líquido, a elevada tensão superficial e a baixa viscosidade é a alternativa E.

Como a esfera flutua em equilíbrio, seu peso é igual à força de empuxo exercida pelo óleo. Nessa situação, a relação entre a densidade da esfera e a densidade do líquido é igual à fração do volume da esfera que permanece submersa.

A esfera permanece com metade do volume dentro do óleo. Portanto, o volume submerso corresponde a 50% do volume total. Assim, aplica-se a relação

\[\frac{d_{\text{esfera}}}{d_{\text{oleo}}} = \% V_{\text{submerso}}\]
\[\frac{d_{\text{esfera}}}{0.8 \text{g} / cm^{3}} = 50 \%\]
\[d_{\text{esfera}} = 0.8 \text{g} / cm^{3} \cdot \frac{50}{100}\]
\[d_{\text{esfera}} = 0.4 \text{g} / cm^{3}\]

Na substituição, foi usada a densidade do óleo, igual a 0,8 g/cm³, e a porcentagem submersa foi convertida para a forma decimal: 50% = 50/100 = 0,5. Portanto, a densidade da esfera é 0,4 g/cm³.

Logo, a alternativa correta é d) 0,4 g/cm³.

Para determinar a densidade do objeto, utiliza-se a relação entre sua massa e seu volume. A massa foi obtida com a balança, cujo valor foi de 30 g. Já o volume é determinado pela variação do nível da água no recipiente: como o nível variou 20 cm³, esse é o volume considerado para o objeto.

A densidade é calculada dividindo-se a massa pelo volume:

\[d = \frac{m}{V} = \frac{30}{20}\]
\[d = 1.5 \text{g} / cm^{3}\]

Na expressão, d representa a densidade, m representa a massa e V representa o volume. Substituindo os valores medidos, divide-se a massa de 30 g pelo volume de 20 cm³, obtendo-se 1,5 g/cm³.

Portanto, a conclusão correta é que a densidade do objeto vale 1,5 g/cm³. Essa afirmação corresponde à alternativa b). Como esse valor é maior que a densidade da água, que é 1,0 g/cm³, as alternativas que afirmam que o objeto é menos denso que a água ou que deve flutuar não são compatíveis com os dados apresentados.

ANULADA

A questão foi anulada no gabarito oficial em razão de uma inconsistência nos dados fornecidos.

Inicialmente, pode-se calcular a densidade da amostra de água a partir da relação entre massa e volume. Como foram medidos simultaneamente a massa total de 100 gotas e o volume total dessas gotas, a densidade é obtida diretamente pela divisão da massa pelo volume:

\[\rho_{a} = \frac{m}{V} = \frac{4.98}{6.9} = 0.72\]

Nessa expressão, m representa a massa total, em gramas, e V representa o volume total, em mililitros. Como \(cm^{3}\) e mL são unidades equivalentes de volume, o resultado pode ser escrito como:

\[\rho_{a} = 0.72 \text{g} / cm^{3}\]

Entretanto, esse valor não é compatível com a densidade usual da água, aproximadamente 1 g/cm³. Além disso, os dados fornecidos conduzem a uma massa e a um volume por gota que não representam coerentemente uma gota de água nas condições esperadas. Essa inconsistência compromete a determinação da ordem de grandeza solicitada, pois o cálculo do número de moléculas depende diretamente da massa atribuída a cada gota.

Embora seja possível dividir os valores medidos por 100 para obter o volume e a massa médios de uma gota, a incompatibilidade dos dados impede que se determine uma resposta única e fisicamente consistente para a questão. Por esse motivo, a questão foi anulada no gabarito oficial, não devendo ser atribuída nenhuma das alternativas a), b), c) ou d).

Para determinar quando o cubo perde o contato com o fundo, é necessário identificar a altura de água que faz com que a força de empuxo seja suficiente para equilibrar o peso do cubo. Como a densidade do cubo é menor que a da água, ele começa a flutuar antes de ficar completamente submerso.

Densidade relativa do cubo em relação à água

A densidade relativa é calculada dividindo-se a densidade do cubo pela densidade da água. Como as duas densidades estão expressas em g/cm³, não é necessário realizar conversão de unidades.

\[d = \frac{\rho_{\text{cubo}}}{\rho_{\acute{a}\text{gua}}} = \frac{0.625 \text{g} / cm^{3}}{1 \text{g} / cm^{3}}\]
\[d = 0.625\]

O valor 0,625 significa que, quando o cubo estiver flutuando em equilíbrio, 62,5% de seu volume estará submerso. Como o cubo possui seção transversal constante ao longo de sua altura, essa mesma fração corresponde à parte submersa de sua altura.

O cubo começa a perder o contato com o fundo exatamente no instante em que a água atinge a altura necessária para que 62,5% de sua altura estejam submersos. Portanto, calculamos essa altura multiplicando a densidade relativa pela aresta do cubo:

\[y = d \cdot L\]
\[y = 0.625 \cdot 32 c m\]
\[y = 20 c m\]

Assim, o cubo perde o contato com a superfície inferior quando a altura da água no recipiente atinge 20 cm. Essa é a condição de início da flutuação: a partir desse momento, o empuxo pode equilibrar o peso do cubo, e o cubo deixa de pressionar o fundo.

A altura da água varia com o tempo de acordo com a expressão fornecida:

\[y \left(t\right) = \left(5.0 \text{cm} / h^{2}\right) t^{2}\]

Substituímos nessa relação a altura crítica y = 20 cm. Em seguida, isolamos o tempo, tomando a raiz quadrada dos dois lados. Como o tempo é uma grandeza positiva, consideramos a raiz positiva:

\[t \left(h\right) = \sqrt{\frac{ycm}{5 \text{cm} / h^{2}}} = \sqrt{\frac{20 \text{cm}}{5 \text{cm}} h^{2}} = \sqrt{4 h^{2}}\]

A razão entre 20 cm e 5 cm é igual a 4. Portanto, o tempo é a raiz quadrada de 4 h², isto é, 2 h. Convertendo horas para minutos, usamos que 1 h corresponde a 60 min:

\[t \left(h\right) = 2 \text{h} = 120 \text{min}\]

Logo, o cubo perde o contato com o fundo do recipiente após 120 min. Portanto, a alternativa correta é e) 120 min.

Como os dois fluidos foram misturados em massas iguais e a mistura é homogênea, podemos representar a massa de cada fluido por m. Assim, a massa total será m + m, ou seja, 2m.

Considerando a hipótese apresentada na resolução, a mistura ocorre sem rearranjo das moléculas capaz de alterar o volume total. Portanto, o volume final é a soma dos volumes ocupados pelos dois fluidos. Para relacionar massa, volume e densidade, usamos a definição de densidade:

\[d = \frac{m}{V}\]
\[V = \frac{m}{d}\]

A primeira relação indica que a densidade é a razão entre a massa e o volume. A segunda é obtida isolando o volume: para cada fluido, seu volume é igual à massa dividida por sua massa específica.

Sejam A e B os dois fluidos. A densidade da mistura é a massa total dividida pelo volume total. Como as massas são iguais, a massa de cada fluido é m. Além disso, os volumes individuais podem ser substituídos por m/d, conforme a relação anterior:

\[d_{\text{AB}} = \frac{m_{A} + m_{B}}{V_{A} + V_{B}} = \frac{m + m}{\frac{m}{d_{A}} + \frac{m}{d_{B}}} = \frac{2 \cancel{m}}{\frac{\cancel{m} \left(d_{A} + d_{B}\right)}{d_{A} d_{d}}} = \frac{2 \left(d_{A} d_{B}\right)}{d_{A} + d_{B}}\]

Na simplificação, o fator comum m aparece no numerador e no denominador e, portanto, é cancelado. Isso mostra que o valor da densidade final não depende da massa escolhida, desde que as massas dos dois fluidos sejam iguais. Substituindo as massas específicas fornecidas, d_A = 4 g/cm³ e d_B = 2 g/cm³, obtemos:

\[d_{\text{AB}} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 2}{2 + 4} = \frac{16}{6} = 2.66 \ldots\]

O resultado aproximado é 2,66 g/cm³. Arredondando para uma casa decimal, 2,66 passa a 2,7 g/cm³, pois o algarismo seguinte ao décimo é 6.

\[\boxed{d_{\text{AB}} \cong 2.7 \text{g} / cm^{3}}\]

Logo, a densidade final da mistura é aproximadamente 2,7 g/cm³, correspondente à alternativa e).

Densidade da espada

A densidade de um corpo é obtida pela razão entre sua massa total e seu volume total. Como o enunciado informa que o volume da espada corresponde à soma dos volumes da prata, do ouro e do aço, calculamos primeiro o volume de cada material usando a relação entre massa, densidade e volume: o volume de cada parte é igual à sua massa dividida pela respectiva densidade.

Assim, a densidade média da espada é determinada pela massa total dos materiais dividida pela soma dos volumes que eles ocupam:

\[d_{e} = \frac{m_{Ag +} m_{\text{Au}} + m_{Aço } }{V_{\text{ag}} + V_{\text{Au}} + V_{\text{a}\dot{c}\text{o}}} = \frac{m_{Ag +} M_{\text{Au}} + M_{\text{a}\dot{c}\text{o}}}{\frac{m_{\text{Ag}}}{d_{\text{Ag}}} + \frac{m_{\text{Au}}}{d_{\text{Au}}} + \frac{M_{\text{a}\dot{c}\text{o}}}{d_{\text{A}\dot{c}\text{o}}}}\]
\[d_{e} = \frac{210 + 386 + 1365}{\frac{210}{10.5} + \frac{386}{19.3} + \frac{1365}{7.8}} = \frac{1961}{20 + 20 + 175} = \frac{1961}{215}\]
\[d_{e} = 9.12 / cm^{3}\]

Na substituição numérica, a massa total da espada é a soma das massas de prata, ouro e aço, resultando em 1961 g. Os termos do denominador representam os volumes dos três materiais, obtidos pela divisão de cada massa por sua densidade: 20 cm³ para a prata, 20 cm³ para o ouro e 175 cm³ para o aço. Portanto, o volume total é 215 cm³, e a densidade da espada é 9,12 g/cm³.

Comparação com a densidade do líquido

Para determinar o comportamento da espada no líquido, comparamos as duas densidades. Um corpo cuja densidade é maior que a do líquido afunda e permanece totalmente imerso, pois seu peso é maior que a força de empuxo máxima que o líquido pode exercer sobre ele.

\[d_{\text{l}\acute{i}\text{quido}} = 3.04 \text{g} / cm^{3}\]
\[d_{e} = \frac{9.12 \text{g} / cm^{3}}{3.04 \text{g} / cm^{3}} = 3\]
\[d_{e} = 3 \times d_{\text{l}\acute{i}\text{quido}}\]

A comparação mostra que a densidade da espada é três vezes a densidade do líquido. Como a espada é mais densa que o líquido, ela afundou e ficou totalmente imersa.

Portanto, a alternativa correta é c): a densidade da espada é de 9,12 g/cm³, e ela ficou totalmente imersa no líquido, pois sua densidade é o triplo da densidade do líquido.

A análise do comportamento do ovo no copo d’água baseia-se nos princípios da densidade e do empuxo. Quando o enunciado afirma que um ovo em boas condições permanece no fundo, isso indica que sua massa por unidade de volume é superior à da água, resultando em uma densidade maior que a do líquido, o que impede que ele flutue.

Por outro lado, o fato de o ovo estragado boiar revela uma mudança em suas propriedades físicas. O processo de deterioração faz com que a densidade total do ovo diminua, tornando-a inferior à densidade da água. Consequentemente, ao comparar os dois estados, conclui-se que o ovo estragado apresenta uma densidade menor do que aquela apresentada pelo ovo bom.