Exercícios de Sistemas Dissipativos com resolução comentada

Teorema da energia mecânica para sistemas não conservativos

Como a criança parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula. Assim, no início do movimento, a energia mecânica está associada à energia potencial gravitacional, dada por mgh, em que m é a massa da criança, g é a aceleração gravitacional e h é o desnível entre o início e o fim da descida.

O enunciado informa que 50% da energia mecânica inicial é convertida em energia térmica. Portanto, apenas os 50% restantes permanecem como energia mecânica ao final do movimento. Como a criança chega ao final com velocidade de 5,0 m/s, essa energia mecânica final corresponde à sua energia cinética:

\[E_{\text{mec}}^{f} = 50 \% E_{\text{mec}}^{i}\]

Substituindo a energia mecânica final pela energia cinética final e a energia mecânica inicial pela energia potencial gravitacional inicial, obtém-se a relação abaixo. O fator 0,5 representa os 50% da energia inicial que não foram dissipados. A massa aparece nos dois lados da igualdade e, por isso, pode ser cancelada:

\[\frac{\cancel{m} v^{2}}{2} = 0.5 \cancel{m} gh\]

Para isolar o desnível h, multiplica-se a igualdade por 2 e divide-se por 0,5g. Isso resulta em uma expressão que depende da velocidade final e da aceleração gravitacional:

\[h = \frac{v^{2}}{0.5 \cdot 2 \text{g}} = \frac{5^{2}}{10}\]

Agora, utiliza-se v = 5,0 m/s e g = 10 m/s². O quadrado da velocidade é 25 m²/s², e o denominador vale 10 m/s². Logo:

\[h = 2.5 \text{m} .\]

Portanto, o desnível entre o início e o fim da descida é de 2,5 m. A resposta correta é a alternativa c).

Considere a altura máxima atingida pela partícula como h. Como a força resistiva dissipa uma energia proporcional à distância percorrida, a energia dissipada em cada trecho de comprimento h é dada por kh, em que k representa a constante de proporcionalidade indicada no enunciado por K. A massa da partícula é m e a aceleração da gravidade tem módulo g.

Durante a subida, a partícula parte do solo com velocidade inicial U e chega ao ponto mais alto com velocidade nula. Portanto, sua energia cinética inicial é transformada em energia potencial gravitacional e em energia dissipada pela força resistiva. Assim, a energia cinética inicial, menos a energia dissipada na subida, é igual ao aumento da energia potencial gravitacional.

Na subida, obtém-se a equação (1):

\[\begin{matrix}E_{\text{ci}} – E_{d} = E_{\text{pg}} \\ \frac{mU^{2}}{2} – kh = mgh \\ U^{2} = \frac{2 \text{h}}{m} \left(mg + k\right) \left(1\right)\end{matrix}\]

A primeira linha expressa a conservação da energia com dissipação: E_ci é a energia cinética inicial, E_d é a energia dissipada pela força resistiva e E_pg é a energia potencial gravitacional adquirida. Na segunda linha, a energia cinética inicial é \(\frac{mU^{2}}{2}\), a energia dissipada ao longo da altura h é kh e o aumento da energia potencial gravitacional é mgh.

Reorganizando essa igualdade, a parcela mgh é somada a kh. Em seguida, multiplica-se a igualdade por 2 e divide-se por m, obtendo-se a expressão para U² apresentada na terceira linha. O fator h aparece porque tanto o trabalho associado à gravidade quanto a energia dissipada dependem da altura percorrida.

Na descida, a partícula parte do ponto mais alto com velocidade nula e chega novamente ao solo com velocidade de módulo V. A energia potencial gravitacional disponível no ponto mais alto transforma-se parcialmente em energia cinética, enquanto outra parcela é dissipada pela força resistiva.

Como o sentido do movimento se inverte, a contribuição algébrica associada à força resistiva muda de sinal em relação à etapa de subida. Por isso, na descida, a energia cinética final somada à energia dissipada é igual à energia potencial gravitacional inicial:

\[E_{\text{cf}} + E_{d} = E_{\text{pg}}\]

Nessa relação, E_cf é a energia cinética da partícula ao retornar ao solo, enquanto E_pg é a energia potencial gravitacional que ela possuía no ponto de altura h. A energia cinética depende do quadrado da velocidade; portanto, o sinal da velocidade não altera seu valor.

\[\frac{m \left(- v\right)^{2}}{2} + kh = mgh\]

A expressão acima contém a energia cinética final, a energia dissipada durante a descida e a energia potencial gravitacional inicial. Ao isolar o termo associado ao quadrado da velocidade e reorganizar os demais termos, resulta:

\[v^{2} = \frac{2 \text{h}}{m} \left(mg – k\right) \left(2\right)\]

O sinal de subtração mostra que, na descida, a energia dissipada é retirada da energia potencial gravitacional disponível para produzir a energia cinética final. Assim, a velocidade de retorno é menor do que seria no caso sem força resistiva.

Para encontrar a razão solicitada, divide-se a expressão de U² pela expressão de v². Os fatores comuns \(\frac{\cancel{2 \text{h}}}{m}\) aparecem no numerador e no denominador e, portanto, são cancelados:

\[\frac{u^{2}}{v^{2}} = \frac{\frac{\cancel{2 \text{h}}}{m} \left(mg + k\right)}{\frac{\cancel{2 \text{h}}}{m} \left(mg – k\right)}\]

Depois do cancelamento dos fatores iguais, obtém-se:

\[\frac{u^{2}}{v^{2}} = \frac{\left(mg + k\right)}{\left(mg – k\right)}\]

Logo, a razão entre o quadrado da velocidade inicial de subida e o quadrado da velocidade de retorno é determinada pela soma mg + K no numerador e pela diferença mg − K no denominador. Portanto, a alternativa correta é b) (mg + K)/(mg − K).

A energia mecânica inicial do bloco está armazenada na mola, sob a forma de energia potencial elástica. Como o bloco é liberado a partir do repouso e a superfície é horizontal, essa energia é convertida em energia cinética durante o movimento. Ao atravessar a região áspera, parte da energia mecânica é dissipada pelo atrito, transformando-se em energia térmica. Portanto, a energia cinética ao final dessa região será igual à energia elástica inicial menos a energia dissipada pelo atrito.

1. Energia potencial elástica inicial

A energia armazenada em uma mola comprimida é determinada pela constante elástica k e pela deformação x. Nesse caso, k é dada em N/m e x corresponde à compressão de 0,4 m:

\[E_{\text{el}} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} = \frac{200 \text{N} / \text{m} \cdot \left(0.4 \text{m}\right)^{2}}{2}\] \[E_{\text{el}} = 16 \text{J}\]

Assim, a mola fornece inicialmente 16 J de energia ao sistema. Como o bloco parte do repouso, ele não possui energia cinética inicial relevante antes de ser liberado.

2. Energia dissipada pelo atrito

Na região horizontal com atrito, a força de atrito cinético tem módulo igual ao produto do coeficiente de atrito pela força normal. Como não há aceleração vertical, a força normal tem o mesmo módulo do peso, de modo que N = mg. Por isso, a força de atrito pode ser escrita como F_at = μmg.

O trabalho realizado pelo atrito tem sentido contrário ao deslocamento. Portanto, ele retira energia mecânica do bloco. A energia dissipada é o módulo desse trabalho, obtido multiplicando a força de atrito pelo comprimento da região áspera, que é 1,5 m:

\[E_{d} = F_{\text{at}} \cdot Δs = \mu \cdot m \cdot g \cdot Δs = 0.1 \cdot 2 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2} \cdot 1.5 \text{m}\] \[E_{d} = 3 \text{J}\]

Logo, o atrito dissipa 3 J da energia inicialmente armazenada na mola. Após atravessar a região áspera, o bloco passa a se mover sem atrito; portanto, a energia que restar nesse instante será sua energia cinética e permanecerá constante no trecho seguinte.

3. Energia cinética ao final da região com atrito

Pelo princípio da conservação da energia, a energia cinética final é obtida subtraindo da energia elástica inicial a energia perdida por atrito:

\[E_{c} = E_{\text{el}} – E_{d}\]

A energia cinética do bloco de massa m, quando ele possui velocidade v, é dada por mv²/2. Substituindo essa expressão na relação anterior:

\[\frac{m \cdot v^{2}}{2} = E_{\text{el}} – E_{d}\]

Para isolar a velocidade, multiplica-se a igualdade por 2 e divide-se pela massa. Em seguida, extrai-se a raiz quadrada positiva, pois se deseja o módulo da velocidade:

\[v = \sqrt{\frac{2 \left(E_{\text{el}} – E_{d}\right)}{m}} = \sqrt{\frac{2 \left(16 – 3\right)}{2}} = \sqrt{13}\] \[v \approx 3.6 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, depois de atravessar a região com atrito, o bloco apresenta velocidade aproximada de 3,6 m/s. Como o movimento posterior ocorre sem atrito, essa velocidade permanece constante após a região áspera. A alternativa correta é c) 3,6 m/s.

O fenômeno descrito no enunciado refere-se a um processo de colisão onde ocorre uma alteração permanente na configuração física dos corpos envolvidos. Quando os automóveis sofrem deformações definitivas, isso indica que parte da energia cinética original do sistema foi convertida em outras formas de energia que não podem ser recuperadas integralmente para o movimento, como calor, som e a própria energia necessária para realizar o trabalho de deformação plástica das estruturas metálicas.

Na física clássica, o conceito de conservação da energia mecânica está estritamente ligado à natureza do choque. Em uma colisão perfeitamente elástica, não há perda de energia cinética para o ambiente ou para transformações internas, mantendo-se a energia mecânica total constante. Contudo, quando surgem deformações permanentes, estamos diante de uma colisão inelástica ou parcialmente elástica.

Nesse cenário de deformação estrutural, a energia mecânica do sistema composto pelos dois veículos sofre uma redução significativa. A energia que antes estava concentrada no movimento (energia cinética) é dissipada durante o impacto para vencer a resistência dos materiais e alterar sua forma de maneira irreversível. Portanto, a presença de danos permanentes nos veículos é um indicador direto de que o sistema não conservou sua energia mecânica original.

A ocorrência de deformações definitivas implica necessariamente na diminuição da energia mecânica total do conjunto durante o evento da colisão.

A existência de um motor de movimento perpétuo é impossível por violar fundamentos essenciais da física clássica. Primeiramente, tal dispositivo confronta o princípio da conservação da energia mecânica, uma vez que qualquer sistema real sofre dissipações inevitáveis ao longo de seu funcionamento. Em cada ciclo de movimento, parte da energia cinética ou potencial é convertida em outras formas, como calor gerado pelo atrito ou resistência do ar, impedindo que o sistema se mantenha operando indefinidamente sem auxílio externo.

Além disso, esse conceito colide com a Segunda Lei da Termodinâmica. Esta lei estabelece que nenhum ciclo térmico pode converter integralmente calor em trabalho de maneira absoluta, o que significa que é impossível alcançar um rendimento de 100%. Como parte da energia é sempre degradada durante o processo, qualquer máquina que pretenda manter um movimento contínuo precisaria obrigatoriamente de uma fonte de suprimento energético externa para compensar essas perdas, exatamente como ocorre no mecanismo eletromecânico descrito no enunciado.

Considere h como a diferença de altura entre o ponto de abandono do bloco e a base do plano inclinado. Como o bloco parte do repouso, sua energia mecânica inicial é exclusivamente potencial gravitacional, dada por Mgh. Ao chegar à base, essa energia será convertida em energia cinética, total ou parcialmente, dependendo da etapa do experimento.

Etapa 1: movimento sem atrito

Na primeira etapa, não há dissipação de energia. Portanto, a energia mecânica se conserva: a energia potencial gravitacional inicial transforma-se integralmente em energia cinética final. A massa do bloco é representada por M, a aceleração da gravidade por g, a altura por h e a velocidade final por v₁.

Velocidade final na etapa 1:

\[\cancel{M} gh = \frac{\cancel{M} v_{1}^{2}}{2}\] \[v_{1} = \sqrt{2 gh}\]

Na primeira igualdade, a energia potencial inicial Mgh é igual à energia cinética final Mv₁²/2. Ao isolar a velocidade, multiplica-se a igualdade por 2, divide-se pela massa M e extrai-se a raiz quadrada. Assim, obtém-se a velocidade v₁ na base do plano.

Etapa 2: movimento com atrito

Na segunda etapa, o atrito dissipa 20% da energia mecânica inicial na forma de calor. Logo, resta para a energia cinética do bloco apenas 80% da energia potencial gravitacional inicial. Como 80% corresponde a 0,8, a energia disponível na base é 0,8Mgh.

Velocidade final na etapa 2:

\[0.8 \cancel{M} g h = \frac{\left(\cancel{M v}\right)_{2}^{2}}{2}\] \[v_{2} = \sqrt{1.6 \text{g} h}\]

A primeira igualdade expressa que os 80% da energia potencial inicial que não foram dissipados pelo atrito se transformam em energia cinética final. Ao simplificar a massa e isolar a velocidade, resulta v₂ = √(1,6gh).

Para comparar as velocidades, divide-se a expressão da velocidade da etapa 1 pela expressão da velocidade da etapa 2. Como os dois movimentos ocorrem sob a mesma gravidade e partem da mesma altura, os fatores g e h aparecem tanto no numerador quanto no denominador e são simplificados.

Logo:

\(\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\sqrt{2 gh}}{\sqrt{1.6 gh}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

Portanto, a razão entre a velocidade final sem atrito e a velocidade final com atrito é √5/2. O ângulo de 30° não precisa ser utilizado diretamente, pois a comparação é feita para a mesma altura inicial e a mesma variação vertical; ele apenas caracteriza a inclinação do plano.

Resposta: alternativa A — √5/2.

Como a água atua dissipando parte da energia mecânica durante a descida, aplica-se o teorema da energia mecânica para um sistema não conservativo. O valor absoluto da energia dissipada corresponde à diferença entre a energia mecânica inicial e a energia mecânica final:

A energia mecânica inicial é apenas a energia potencial gravitacional, pois o carrinho parte do repouso e está a uma altura de 6 m. Assim, m representa a massa total do carrinho e de seus ocupantes, g é a aceleração da gravidade e h é a altura inicial em relação ao nível da água. Ao chegar ao canal, a energia mecânica final é a energia cinética associada à velocidade de 2 m/s:

\[\begin{array}{l}E_{\text{mec}}^{\text{dissip}} = E_{\text{mec}}^{i} – E_{\text{mec}}^{f} = mgh – \frac{mv^{2}}{2} \\ E_{\text{mec}}^{\text{dissip}} = 250 \cdot 10 \cdot 6 – \frac{250 \cdot 2^{2}}{2}\end{array}\] \[E_{\text{mec}}^{\text{dissip}} = 15000 – 500 = 14500 \text{J}\] \[E_{\text{mec}}^{\text{dissip}} = 14.5 \text{kJ}\]

O termo mgh fornece a energia potencial gravitacional inicial: 250 · 10 · 6 = 15 000 J. Como o carrinho chega ao canal com velocidade de 2 m/s, sua energia cinética final é 500 J. A diferença entre essas energias, 15 000 − 500 = 14 500 J, é a energia mecânica retirada pelo efeito dissipativo da água.

Convertendo para quilojoules, obtém-se 14,5 kJ. Portanto, a alternativa correta é e) 14,5 kJ.

Antes da colisão, a bala é abandonada a uma altura de \(2{,}0\ \text{m}\), portanto sua velocidade inicial é nula e sua energia mecânica está associada à energia potencial gravitacional. Após a colisão, ela sobe até \(1{,}5\ \text{m}\). Nesse ponto mais alto, sua velocidade volta a ser nula, de modo que a energia mecânica final também corresponde à energia potencial gravitacional.

Como a energia potencial gravitacional é dada pelo produto \(mgh\), a razão entre as energias mecânicas final e inicial pode ser calculada comparando diretamente as alturas. A massa \(m\) e a aceleração da gravidade \(g\) aparecem tanto no numerador quanto no denominador e, por isso, são canceladas:

\[\frac{E_{\text{mec}}^{f}}{E_{\text{mec}}^{i}} = \frac{\cancel{mg} h_{f}}{\cancel{mg} h_{1}} = \frac{1.5}{2} = 0.75\] \[E_{\text{mec}} = 75 \% E_{\text{mec}}^{i}\]

O resultado \(0{,}75\) significa que, depois da colisão, a bala conserva 75% da energia mecânica que possuía inicialmente. Assim, a parcela perdida corresponde à diferença entre 100% da energia inicial e os 75% que permaneceram.

Como o enunciado informa que a resistência do ar deve ser desprezada, não há dissipação de energia durante o movimento de subida e descida. Portanto, a única perda de energia ocorre durante a colisão com o piso. Dessa forma, a energia cinética dissipada na colisão corresponde a 25% da energia mecânica inicial:

\[E_{c i n}^{\text{dissip}} = 25 \% E_{m e c}^{i}\]

Logo, a perda de energia cinética durante a colisão foi de 25%, correspondente à alternativa e).

As forças dissipativas realizam trabalho porque a energia mecânica do pêndulo diminui ao longo do movimento. Como o objeto é solto do repouso e, após muitas oscilações, volta a ficar em repouso na posição de equilíbrio, a variação da energia cinética entre o início e o fim é nula. Assim, a energia mecânica perdida corresponde ao trabalho das forças dissipativas.

Inicialmente, o objeto está acima da posição de equilíbrio. A elevação vertical h em relação ao ponto mais baixo é determinada pelo comprimento do fio e pelo ângulo de 60° com a vertical. A projeção vertical do fio, na posição inicial, vale L cos 60°. Portanto, a diferença de altura entre a posição inicial e a posição de equilíbrio é:

\[h = L – L cos 60 \circ\]

Substituindo o comprimento do fio, L = 1,5 m, e o valor de cos 60° = 1/2:

\[h = 1.5 – 1.5 \cdot \frac{1}{2}\]

Logo, a altura inicial do objeto em relação à posição de equilíbrio é 0,75 m. A energia potencial gravitacional inicial é, portanto, mgh. No estado final, o objeto está na posição de equilíbrio e em repouso, de modo que a energia mecânica final pode ser tomada como zero nesse referencial. O trabalho das forças dissipativas é igual à variação da energia mecânica:

O trabalho realizado pelas forças dissipativas é de:

\[T = ΔE_{M} = 0 – mgh\] \[\tau = – 2 \cdot 10 \cdot 0.75\] \[T = – 15 \text{J}\]

O sinal negativo indica que as forças dissipativas retiram energia mecânica do sistema. Portanto, o trabalho realizado por essas forças é −15 J, correspondente à alternativa d).

Durante todo o percurso, o bloco se desloca sobre uma superfície horizontal. Por isso, o deslocamento é horizontal, enquanto as forças peso e normal têm direção vertical.

Como o trabalho de uma força depende da componente da força na direção do deslocamento, o peso e a força normal não realizam trabalho: em cada trecho, essas forças são perpendiculares ao movimento. Assim, tanto no deslocamento de A até B quanto no retorno de B até A, o trabalho do peso e o trabalho da normal são nulos.

A força de atrito cinético, por sua vez, atua sempre no sentido oposto ao deslocamento instantâneo do bloco. Portanto, o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento é de 180°, e o trabalho realizado por essa força é negativo. Como existe atrito ao longo de todo o percurso, seu trabalho não é nulo, mesmo que o bloco retorne ao ponto inicial.

O módulo do trabalho do atrito é calculado pelo produto entre o módulo da força de atrito e a distância percorrida:

\[T_{F a t} = F_{a t} d = \mu_{c} m g d\]

Nessa expressão, μ_c é o coeficiente de atrito cinético, m é a massa do bloco, g é a aceleração da gravidade e d representa a distância percorrida. A expressão apresentada corresponde ao módulo do trabalho; o trabalho efetivo da força de atrito é negativo porque essa força se opõe ao deslocamento.

Logo, no percurso fechado ABA, o trabalho do atrito é não nulo e negativo, enquanto os trabalhos do peso e da força normal são nulos. Portanto, a alternativa correta é d) não nulo, de valor negativo e diferente dos trabalhos das forças Peso e Normal.